2021 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 6 题

解答

抛物线 $y^2=2px$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的切线为 $y_{0}y=p(x+x_0)$。令 $x=0$ 得 $Q\left(0,\frac{t}{2}\right)$。焦点 $F\left(\frac{p}{2},0\right)$，$|FP|=x_P+\frac{p}{2}=\frac{t^2}{2p}+\frac{p}{2}=2$，即 $t^2+p^2=4p$。又 $|FQ{|}^2=\frac{p^2}{4}+\frac{t^2}{4}=1$，即 $t^2+p^2=4$。联立得 $p=1$，$t^2=3$。所以 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}=\frac{t^2}{2p}\cdot 0+t\cdot \frac{t}{2}=\frac{t^2}{2}=\boxed{\frac{3}{2}}$。