培玉 · 一试
2024 年吉林预赛
F4填空题三角函数综合
在 中， 平分 且交 于 ， 平分 且交 于 ，，且 ，则 的度数为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
思路
角平分线长度公式 可由面积分割或余弦定理推得；配合角平分线定理与正弦定理使用。
想法从哪来：线段等式横跨两条角平分线，直接找全等形不明显。先用同一套三角形边长表示分点段长和角平分线长，至少把几何条件压缩成一个代数等式。随后用正弦定理消去统一尺度，已知的三十度角就会在半角公式中发挥作用。出现B的一半、再出现它的一半，并非随意换元：角平分线公式自带半角，和差化积又把和角、差角各除以二，因此四分之一角才是适合因式分解的变量。最后不要见到一个可行角就结束，两个因子分别为零都要在三角形角度范围内求全，再回代原线段等式。
先用角平分线定理与长度公式将线段条件化为角条件，再用和差化积完整因式分解。
解答
记 ，并令 为对边。角平分线公式给出
代入 并用正弦定理约去公因子，化简为
令 。用积化和差，上式等价于
由 ，第一因子给出 ，第二因子给出 。因此
复核
两个角均位于 ，对应的 为 或 ，三角形非退化；上述变形中所除的边长与余弦均为正。
方法总结
两条角平分线参与的长度等式，用正弦定理转成半角后，常能通过积化和差得到可穷尽的三角因式。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
需将两条角平分线涉及的长度统一成角参数，经过非直接三角分解得到两种角度，并保留全部合法分支。
已记下，谢谢！