同一骨架 2025 年广州预赛 · P006255
两题都先抽出公共尺度，把剩余参数约成互素的本原部分，再用整除关系和大小界限把无限搜索压缩成有限分类。分类完成后还要恢复公共尺度，核原整数条件。
等比数列把既约分母的幂吸收到首项中；最大公因数题则把两个整数同时除去公因子。两种归一化都不能把尺度与本原参数混在一起枚举。
培玉 · 一试
2023 年上海高中数学竞赛（高三卷）
F3填空题等比数列与等差数列
正整数 构成一个严格递增的等比数列，且满足
则 ，公比 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
公比不必预先假设为整数。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
把既约公比写成 ，利用第五项的整数性迫使 ，再利用和为质数 将可能性压缩到有限枚举。
解答
设 ，其中 为互质正整数。由
得 。令 ，则
是质数，括号内大于 ，故 ，且括号内等于 。于是 ，所以 。由 且 ，只需检验
相应括号值依次为 ，故 。因此
复核
所得数列为 ，各项均为正整数、严格递增且和为 。
方法总结
整项等比数列的公比可以是有理数。将公比既约后，末项整数性给出分母幂整除首项；若总和为质数，乘积分解通常能进一步锁定尺度因子。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
需由末项整数性迫使首项含公比分母四次幂，再用总和211为质数消去公因子；此后公比分子上界缩为三组候选。
联系 · 2 条
易混 2022 年甘肃预赛 · P006809
两题都出现有理公比和整数要求，整性所在的位置却不同。逐项为整数时应控制既约分母在各项中累积的幂；只有某个商为整数时，应先界定商的整数范围，再检查参数方程能否有有理根。
不能由整数条件直接断言公比为整数，也不能把逐项整性所需的分母整除强加到仅约束一个比值的题中。
已记下，谢谢！