一试训练题

解答

$f$ 严格单调，故为单射，所以 $f(x)+2^x$ 恒等于某常数 $c$，即 $f(x)=c-2^x$。代入 $x=c$：$f(c)=-1$，即 $c-2^c=-1$。$h(c)=c-2^c+1$ 满足 $h^{\prime \prime }(c)=-2^c(\ln 2{)}^2<0$，是严格凹函数，至多两个零点；而 $h(0)=h(1)=0$，故 $c=0$ 或 $c=1$。两种情形 $f(x)=-2^x$ 与 $f(x)=1-2^x$ 都严格递减，且分别有 $f(f(x)+2^x)=f(0)=-1$，$f(f(x)+2^x)=f(1)=-1$，都满足条件。所以 $f(2)=c-4$，可能值为 $\boxed{-4\text{ 或 }-3}$。