同一骨架 2021 年贵州预赛 · P006991
两题都先求模平方，用单位圆上的倒数与共轭相同，把复多项式变成一个有界实参数的多项式。难点在于保留准确区间，再比较全部内部驻点与端点；模的最值最终还须从平方值取非负根。
一题降成二次式可以直接配方，另一题含更高次的余弦对称项，需要完整检查导数得到的候选点。
培玉 · 一试
2026 年北京预赛
F3填空题复数的几何意义
设复数 满足 ，则 的最大值为 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
令 ，把模的平方与其共轭相乘，可将问题化为 上的三次多项式最值。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
直接用三角不等式只能得到不可取到的粗上界 。
解答
令 ，并记 。由 ，
在 上，
两个驻点为 ，其中只有 落在 内。又
利用 化简得
因此模的最大值为
复核
，故存在单位复数与之对应；模平方非负且平方根单调，比较 的最大值即可。 驻点和两个端点已全部检查。
方法总结
单位圆上的复数模最值常先平方，再用 将共轭对称式降为实变量多项式。 最后必须同时检查区间内驻点和端点。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
将模平方化为cosθ的三次多项式是核心转化，之后需筛选落在[-1,1]的驻点并与端点比较。
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