培玉 · 一试
2025 年云南预赛
定模复数之差确定两复数乘积
F3填空题复数的几何意义
已知复数 满足
则 的值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
令 、，则 ，而差 已知。
思路
等模条件说明 的中点所对应的向量与差向量垂直；在复平面中，垂直可用乘以 表示，由此可直接求出乘积 ，且不必区分中点位于弦的哪一侧。
解答
令
并记 。因为 、 且 ，所以 与 在复平面中垂直。又
于是存在符号 ，使得
因为 。故
再由 ，得到
复核
，中点长度计算为正；符号 在平方后消失，因此两个可能的几何位置给出同一个乘积。展开 ，符号无误。
方法总结
两个复数的模相等而差固定时，可把它们看成圆上一条定向弦的端点。用“中点向量垂直于弦向量”表示端点，再计算端点乘积，常能消去关于弦两侧位置的二义性。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
须先缩放成等模复数，将已知差看作弦向量，中点垂直于弦使乘积在两种位置下保持相同。
已记下，谢谢！