培玉 · 一试
2012 年山西预赛 · 第 10 题
内接于 ， 是三角形的内心，直线 分别交 于 。过点 作直线 ，又过点 作 的切线 ，若 与 相交于 ，证明： 三点共线。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
思路
把平面点记成复数z时，单位圆上有 ；非零方向商为实数表示两方向平行。单位圆弦方程可由两端点代入验证。
想法从哪来：内角平分线与外接圆的第二交点，首先应想成所对弧的中点；用角的一半作圆参数，原来的角平分信息就直接变成参数乘除。再把切点C转到单位圆的一端，其切线方程最简单。证明三点共线时，不妨先定义DE与这条切线的交点，反查它到内心的方向是否平行AB；这样两个交点定义只需核一个实数方向商。复数法在这里的作用是把圆上点的共轭换成倒数，判断方向商为实数就变成一次机械的共轭比较。必须选对弧中点的正负号；若某些方向导致两条题给直线平行、没有有限F，也不能把分母为零代入交点公式。
在单位圆复平面中，角平分线的另一圆点是相应弧的中点；用弦的一次复方程求内心和待证直线，再检查方向商为实数。
解答
令外接圆为单位圆并旋转使 。不妨按圆周次序写 ，其中 。角平分线所对的不含第三顶点弧中点给 。单位圆两点 的弦为 ，故两内角平分线 联立得到 。直线 的方程是
而 处切线为 。二者交点的复数为
计算方向商得
因为 ，将右端的 换为 后仍为原式，故此商为实数，即 。因此 同时在题给两直线上，必是所给交点 ，得 。
复核
保证 非零；若 ，则 与 处切线平行，题给有限交点不存在，故合法构型中该分母非零。弧参数的指定保证求得的是内心，而非旁心。
方法总结
先正确选择弧中点的平方根支，复方向商为实数便能统一表达平行与共线。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
需正确选择两条内角平分线的弧中点分支，用复弦方程求内心与交点，再以共轭不变的方向商证明平行并核分母。
已记下，谢谢！