2024 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 5 题

解答

不妨取椭圆为 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$，其中 $a>b>0$，$c^2=a^2-b^2$。 由对称性可设 $A=(a,0),B=(0,b),F_1=(-c,0),F_2=(c,0)$。 记 $\theta =\angle F_{1}AB$，$\phi =\frac{1}{2}\angle F_{1}B{F}_2$，则

题设给出 $2\phi =\theta$，故 $0<2\phi <\pi /4$，可使用正切倍角公式，且其分母为正。 于是

记 $e=c/a\in (0,1)$，则 $2e^2+2e-1=0$，故

对该正根，有 $b^2-c^2=2ac>0$，所以 $2\phi \in (0,\pi /2)$。 此时上式给出 $\tan 2\phi =\tan \theta$，由正切在该区间内的单调性得 $2\phi =\theta$，故候选确实满足题设。