易混 2024 年内蒙古预赛 · P006559
都是固定一条底边后让第三个顶点运动，但固定对角与固定面积给出的轨迹不同。前者约束在圆弧上，后者约束在与底边平行的直线上；距离最值的方法必须跟着轨迹改变。
先找对动点轨迹，再谈到定点的距离或距离比。
培玉 · 一试
2025 年江苏预赛
F3填空题平面几何综合
已知 的面积为 ，，则 的范围为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
固定底边后，点 在两条平行线上运动；建立对称坐标可把边长比化为单变量函数。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
取 。由面积为 ，点 到 的距离为 ， 故不妨写 。令 ，则
求导得
故 在 处取最小值，在 处取最大值，且
开平方可得
复核
两个极值点都对应非退化三角形，端点能够取到；当 时比值趋于 ，与区间一致。
方法总结
固定底边与面积意味着第三点在平行线上运动。把底边中点置于原点，距离比通常变成关于横坐标的有理函数，便于求导或配方。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
须用面积定高把动点降为一参数，随后完整求距离平方比的极值并检查端点可达。
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同一骨架 2022 年全国高中数学联赛一试（A 卷） 第 7 题 · P007194
两题都把以固定线段为底的三角形面积翻译为动点到基线的距离。这样面积条件先控制动点的高度或距离区间，余下未知量再由轨迹和一个参数确定，避免把面积与坐标分别设成互不关联的变量。
一题从椭圆上的面积最值恢复底边，另一题由固定面积限制第三顶点再求边长比。
已记下，谢谢！