2020 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 11 题

思路

递推的不变量是更新前后保持不变的量；若一个量每次变号，把它再乘交替符号就得到不变量。本题只需代入二次式直接展开，不要求预先知道斐波那契数列的恒等式。

想法从哪来：根式通项像是在处理无理数的大幂，但两个底数恰好满足同一个二次方程。先把这个二次关系乘上适当幂再相减，就能把通项变回整数递推；这也先解决“完全平方数”所需的整性问题。 随后试算几个小下标，隔四项乘积与中间项平方很接近，提示先比较这两个量，而不是直接分解乘积减一。把相邻两项记作 $u,v$，所有涉及的项都能用它们表示，差便成了一个简单二次式。下标前进一步只让状态变成 $(v,u+v)$，检查这个二次式怎样变化，就能找到交替符号的不变量。只需挑出其中一个奇偶类给出无限多个可行下标，无需额外证明另一个奇偶类全部不行。

根式通项实际是整数递推，隔四项乘积与中项平方之差有交错不变量。