培玉 · 一试
2019 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 8 题
F4填空题等比数列与等差数列
设等差数列 的各项均为整数，首项 ，且对任意正整数 ，总存在正整数 ，使 。求这样的等差数列的个数。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
思路
等差数列的通项与前缀和均为整式。整除条件只保证求得的项号为整数，不能保证它大于零；本题需要把这两件事分别核对，尤其注意负公差。
想法从哪来：要求每个前缀和都落回数列，看似有无穷多个条件，但可以先检查最短的非平凡前缀。前两项之和等于某一项时，首项必须是公差的整数倍，因而候选公差一下变得有限。公差为零应先单独排除，之后才可相除。 这一步还不能只列正因子：各项允许为负，公差也可能为负；真正约束它的是对应项号必须为正整数。用前两项的项号限制先筛负因子，会留下很小的范围。必要候选找全后，再把一般前缀和与通项相等，显式解出所需项号；它随前缀长度改变是允许的。分别检查正公差和保留的负公差下，这个项号对每个正整数长度都为正，才证明所有候选有效。
只看前两项先得到项号整除约束，再反过来验证所有前缀和。
解答
设公差d。d=0时前两项和不可能等于某一项，故d非零。取n=2，有 ，即 ，m为正整数。若d正，d为2019的正因子，共 四个；若d负，由 且m正，只能m=1，得 。充分性：令 ，前缀和等于第 项。正d时q正，所以M正；d=-2019时q=-1，，仍为整数。五种公差全部有效，故答案 。
复核
不能漏掉唯一的负公差；若只要求存在整数项号而未验证项号正，会错误引入其余负因子。m可随n而变化。
方法总结
全称前缀和条件先用短前缀给必要筛选，再显式构造每个前缀的合法项号。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
只看前两项先得到项号整除约束，再反过来验证所有前缀和。
用到的方法（会透露解法方向）
已记下，谢谢！