同一骨架 2009 年安徽预赛 第 8 题 · P010640
潜在线对数只有在交点不重合时才能直接使用。先把不相交的对或逐次新增的交点数算清，再单独说明如何避免三线共点，才能把上界变成实际可达到的几何计数。
前题按平行类大小扣除无交点线对，并对整数分拆所得交点数去重；后题逐条添加横贯带状区域的线段，以不同内部交点切出的段数计新增区域，还需保留初始区域。
培玉 · 一试
2025 年四川预赛
十条直线交点数的所有可能值
F3填空题组合计数综合
称正整数 为“好数”，是指平面上存在 条直线，这些直线满足：无任何 条交于一点，且它们一共出现 个交点。则所有“好数” 的和为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
无三线共点保证任意两组非平行直线产生的交点互不重复，因此交点数只由各平行类的大小决定。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
问题随即化为枚举 的整数分拆。
解答
设各平行类的直线条数为正整数
全部 对直线中，同一平行类内的直线不产生交点，故
按最大平行类的大小 枚举 的分拆，由（1）得到下表：
对任一分拆，取相应数量的不同方向并一般地选择截距，均可避免三线共点，所以表中各正整数都能达到。去重后所有“好数”为
因此它们的和为
复核
全平行时 ，但“好数”要求正整数，故已排除。按最大部件枚举穷尽了 的所有整数分拆；一般位置的截距选择说明每个列出的数不仅必要，而且确实可实现。
方法总结
允许平行但禁止三线共点时，交点计数等于“全部直线对减去平行直线对”。把平行类大小看成整数分拆，可把几何存在性问题化为有限的组合枚举，并用一般位置保证构造成立。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
关键是按平行类表达交点数，把几何可能性变为10的分拆，并对所得数去重与验证可实现性。
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