2017 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 6 题

解答

总样本数为 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{3}\right)=84$。称 $(\pm 1,\pm 1)$ 为四个角点，称 $(\pm 1,0),(0,\pm 1)$ 为四个边中点。

若三点组含原点，只需从其余八点中选择一对距离不超过 $2$ 的点。共 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{2}\right)=28$ 对，其中距离为 $\sqrt{8}$ 的对角点对有 $2$ 对，距离为 $\sqrt{5}$ 的点对有 $8$ 对（每个角点与两个较远边中点各成一对），故有 $28-2-8=18$ 个合格三点组。

若三点组不含原点，按角点个数分类。没有角点时，任取三个边中点均合格，有 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)=4$ 个。恰有一个角点时，另两点只能是与它相邻的两个边中点，有 $4$ 个。恰有两个角点时，它们必须相邻，第三点只能是它们之间的边中点，有 $4$ 个。三个角点时必含一对对角点，不合格。

因此合格三点组共有 $18+4+4+4=30$ 个，所求概率为 $\boxed{30/84=5/14}$。