2011 年辽宁预赛 · 第 5 题

解答

由 $b_1+c_1=1$ 得 $b_1=1/2$。又 $c_n=b_n{c}_{n-1}$，故 $1-b_n=b_n(1-b_{n-1})$，即 $b_n=1/(2-b_{n-1})$。归纳得 $b_n=n/(n+1)$，从而对全部正整数 $n$，$a_n=1/[n(n+1)]$。因此 $1/a_n=n(n+1)$ 严格递增。夹住 $2011$ 的相邻两项为 $44\cdot 45=1980$、$45\cdot 46=2070$，距离分别为 $31,59$。所以选 $\boxed{\mathrm{A}(1980)}$。