同一骨架 2022 年四川预赛 · P006892
两题都先由内层必须有定义与函数严格递减，排除负值分支。把内层整体再代入一次，得到相同外层函数值，再由单射性消去外层，把函数方程化成一个代数量的方程。
乘积常数不同，筛选后的代数值与后续最值目标也不同；不可跳过符号证明而随意选择代数根。
培玉 · 一试
2026 年贵州预赛
F4填空题函数综合
已知函数 在定义域 上单调递减，
在 上恒成立。则函数 的最小值是。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
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想想一道相关的题
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思路
单射指不同自变量给出不同函数值，严格单调函数必为单射。这里按题中“单调递减”的严格含义使用；每次复合代入前都先用正性保证内层仍属于定义域。
想法从哪来：未知函数套着自身，先检查每层自变量必须为正，这条常被忽略的定义域限制会给函数值下界。结合递减性，若某处已经为负，往右还会更小，却又被趋于零的下界托住，就产生矛盾；因此可以先确定全程为正。 再把原式内层整体视为新自变量代入一次，外层就出现两个相同函数值。严格递减意味着单射，可以去掉外层函数，转成普通代数等式。注意原式中函数值与自变量倒数同时出现，乘上自变量后试引入无量纲的乘积，方程就不再含具体自变量。最后处理复合函数时，要重新求内层正值的范围，而不是沿用未知函数的正半轴作为原变量范围。
函数方程的内层必须仍在定义域内。先据此排除 取负值，再把内层作为新的自变量 再次代入方程；严格单调带来的单射性会把复合等式化成关于 的代数方程。
解答
对任意 ，题设有意义，故
且乘积为 ，所以 。若存在 使 ，则对充分大的 ，单调递减性给出 ；另一方面 。取 足够大使 ，即得矛盾。因此 。
记 。原方程给出 。把 再代入原方程，得
因 单调递减而为单射，故
令 ，约去 后有
即 ，所以 ，从而
有意义时必须 。令 ，则 ，且
当 时等号成立，故最小值为 。
复核
在 上严格递减，且直接代入原方程确得乘积为 。 对应 ，属于复合函数的自然定义域，故最小值可取到。
方法总结
单调函数方程中应先检查每层复合的定义域与符号，再重复代入制造两个相同函数值， 利用单射性消去外层函数。所得显式函数代入复合式后，再单独处理其自然定义域。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
先结合定义域与单调性证明正性，再重复代入借单射化成xf(x)的代数方程，最后处理指数内层值域。
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