培玉 · 一试

专题地图 › 向量与复数

向量的数量积与几何意义

从这里开始

数量积先看方向，最值再查可行范围

能正确处理反向向量，把数量积或距离平方化为坐标式，并检查零向量、夹角和参数端点。

四题目标训练：先试一题 → 换条件应用 → 辨析条件差异 → 换题验证。

开始四题目标训练

从 F1 第一题开始随机来一道 F2

本专题核心公式速查

互动实验：柯西：长度与方向 · 单位圆与三角形中心

数量积把角、长度和垂直变成可计算的关系，但先看结构往往能少算许多坐标。选原点、认出圆或线段、保留分点关系，再决定展开还是投影。最值题既要找到界，也要让取等方向满足原来的几何限制。

1. 先修与破题直觉：求数量积前，先把两个向量平移到同一起点再读夹角。边长为 $1$ 的正方形 $A BC D$ 中， $A B \cdot A C = 1 \cdot 2 cos 4 5^{\circ} = 1$ ；而 $A B \cdot C A = - 1$ ，因为 $C A$ 与 $A C$ 反向。

2. 核心条件辨析：数量积为正只说明夹角为锐角或零角，要求“夹角为锐角”还须排除同向；中线形式的极化恒等式减去的是半弦长的平方 $\frac{1}{4} ∣ A B ∣^{2}$ ；外心在每条边上的投影是该边中点，但 $A O$ 一般不垂直于 $BC$ ；范数估计要连同取等方向一起检查。

3. 典型误区对比：先读起点不统一、极化恒等式减去全长平方、把外心当成垂足三组红绿卡，再做自测。每用一个恒等式，先写清它的起点和适用条件。

4. 方法迁移带练：设 $∣ A B ∣ = 2$ ， $M$ 为 $A B$ 中点，动点 $P$ 在圆心 $C$ 、半径 $1$ 的圆上，且 $∣ CM ∣ = 2$ 。由极化恒等式 $P A \cdot PB = ∣ PM ∣^{2} - 1$ ，而 $∣ PM ∣ \in [1, 3]$ ，两端在直线 $CM$ 与圆的交点处取到，所以范围是 $[0, 8]$ 。外心的例子： $∣ A B ∣ = 2$ 、 $∣ A C ∣ = 4$ 时， $A O \cdot BC = \frac{1}{2} (4^{2} - 2^{2}) = 6$ 。

5. 分级真题实战：先练“围绕同一原点展开数量积”和“正交分解与线性投影”，再练“把向量端点还原为几何轨迹”“用中心的定义建立数量积方程”；之后进入“分点参数与系数比较”“角度或比例参数化后优化”，最后挑战“范数不等式与可达性”和“严格角条件与离散分类”。

先修（培玉高中数学）：平面向量的运算平面向量基本定理及坐标表示平面向量的应用基本不等式圆的方程

知识要点

数量积的正负必须配合向量方向

非零向量满足 $u \cdot v = ∣ u ∣∣ v ∣ cos θ$ 。正、负数量积分别对应余弦正、负；若要求锐角、钝角，还须排除同向、反向共线。例： $u = (2, 0), v = (- 1, 3)$ 的数量积为 $- 2$ ，两模均为 $2$ ，夹角为 $12 0^{\circ}$ 。把 $v$ 反向，数量积也变号。

先展开，再只求目标需要的量

数量积对向量加法满足分配律，且 $∣ u \pm v ∣^{2} = ∣ u ∣^{2} + ∣ v ∣^{2} \pm 2 u \cdot v$ 。已知模和数量积时，不必先求各向量坐标。例： $∣ u ∣ = 2, ∣ v ∣ = 1, u \cdot v = 1$ ，则 $∣ u - 2 v ∣^{2} = 4 + 4 - 4 = 4$ ，故其模为 $2$ 。

正交分解同时给出投影与最短距离

当 $u \neq = 0$ 时， $∣ v - t u ∣^{2}$ 在 $t = (u \cdot v) /∣ u ∣^{2}$ 处最小，剩余向量垂直于 $u$ 。例： $u = (2, 0), v = (1, 3)$ ，自由参数的最优值为 $1/2$ ，最短距离为 $3$ ；若限制 $t \in [1, 2]$ ，最优值改为 $1$ ，最短距离为 $10$ 。

极化恒等式与直径圆轨迹判别

对任意向量 $u, v$ ，恒成立极化恒等式：

u \cdot v = \frac{1}{4} (∣ u + v ∣^{2} - ∣ u - v ∣^{2}) .

在 $△ P A B$ 中取 $M$ 为边 $A B$ 的中点，令 $u = P A, v = PB$ ，因 $u + v = 2 PM$ 、 $u - v = B A$ ，立即化为中线形式：

P A \cdot PB = ∣ PM ∣^{2} - \frac{1}{4} ∣ A B ∣^{2} .

当 $A B$ 为定长线段时，动点 $P$ 对 $A, B$ 的数量积范围直接由中线长 $∣ PM ∣$ 的最值决定。特别地， $P A \cdot PB = 0 ⟺ ∣ PM ∣ = \frac{1}{2} ∣ A B ∣$ ：零数量积的点集是以 $A B$ 为直径的圆（例： $A = (- 2, 0), B = (2, 0), P = (0, 2)$ 时 $∣ PM ∣ = 2 = ∣ A B ∣/2$ ，数量积为 $0$ ）；只有排除端点 $A, B$ 后才能称 $∠ A PB = 9 0^{\circ}$ 。

若 $P$ 在以 $C$ 为圆心、半径 $r$ 的整圆上，记 $d = ∣ CM ∣$ ，则 $∣ PM ∣ \in [∣ d - r ∣, d + r]$ ；若 $P$ 在圆盘内，下界才是 $max (0, d - r)$ 。例： $A = (- 2, 0), B = (2, 0)$ ， $P$ 在 $(x - 1)^{2} + y^{2} = 4$ 上，数量积范围为 $[- 3, 5]$ ，分别在 $P = (- 1, 0), (3, 0)$ 取得；圆盘内则可取 $P = M = (0, 0)$ ，最小数量积降为 $- 4$ 。若只给一段圆弧，还须检查上述取等点是否属于该弧。

分点与重心先用仿射关系定位

线段上 $P$ 的位置向量可写成 $p = (1 - t) a + t b$ ，其中 $0 \leq t \leq 1$ ；内部点有 $A P : PB = t : (1 - t)$ 。三角形重心的位置向量为三顶点位置向量的平均。例： $A = (0, 0), B = (6, 3), t = 1/3$ ，得到 $P = (2, 1)$ 、分点比 $1 : 2$ 。以斜向量作基底仍可处理分点，但模和垂直须保留基向量的数量积。

四心数量积方程、奔驰定理与欧拉线

以 $A$ 为原点，外心 $O$ 满足投影半弦式 $A O \cdot A B = \frac{1}{2} ∣ A B ∣^{2}, A O \cdot A C = \frac{1}{2} ∣ A C ∣^{2}$ ；以外心 $O$ 为原点时， $∣ O A ∣ = ∣ OB ∣ = ∣ OC ∣ = R$ ，垂心 $H$ 满足 $O H = O A + OB + OC = 3 OG$ ；以垂心 $H$ 为原点时，三对顶点数量积相等： $H A \cdot H B = H B \cdot H C = H C \cdot H A$ 。结合奔驰定理，重心、内心、外心、垂心的向量关系分別具有权重 $1 : 1 : 1$ 、 $a : b : c$ 、 $sin 2 A : sin 2 B : sin 2 C$ 、 $tan A : tan B : tan C$ （非直角三角形）。例： $A = (0, 0), B = (4, 0), C = (0, 3)$ ，外心为 $(2, 3/2)$ ，内心为 $(5 A + 3 B + 4 C) /12 = (1, 1)$ 。

圆、球上的线性目标只取决于一个投影

若 $∣ x ∣ = R$ 且所有方向都允许，则 $x \cdot w$ 的范围为 $[- R ∣ w ∣, R ∣ w ∣]$ ，平移圆心或球心只给目标增加常数。例： $∣ x ∣ = 3, w = (4, 0)$ 时范围为 $[- 12, 12]$ ，由 $x = (\pm 3, 0)$ 取到。若动点只在线段、圆弧或开区域内，必须重新检查取等点和端点。

范数估计必须连同取等方向一起使用

三角不等式与反三角不等式给出 $∣∣ u ∣ - ∣ v ∣∣ \leq ∣ u + v ∣ \leq ∣ u ∣ + ∣ v ∣$ 。例：两模为 $3, 1$ 时和向量模在 $[2, 4]$ 内；若允许任意夹角，每个值均可取得。柯西不等式还给出 $x^{2} + y^{2} = 25$ 时 $3 x + 4 y \leq 25$ ，取等点为 $(3, 4)$ ；附加条件可能排除这一点。

方法卡

数量积：选好出发点，展开后用已知的量

把所有向量写成少数几个向量的组合，再像多项式一样展开。同一点出发的两个向量，用中点可以写成 $P A \cdot PB = ∣ PM ∣^{2} - \frac{∣ A B ∣ ^{2}}{4}$ ， $M$ 是 $A B$ 的中点。

完整讲解 · 例题 · 可练 77 题

一、是什么

记号和展开

向量可以写成坐标 $a = (x_{1}, y_{1})$ ，模（长度） $∣ a ∣ = x_{1}^{2} + y_{1}^{2}$ 。数量积 $a \cdot b = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$ ，也等于 $∣ a ∣∣ b ∣ cos θ$ ， $θ$ 是两向量的夹角，范围是 $0^{\circ}$ 到 $18 0^{\circ}$ 。特别地 $a \cdot a = ∣ a ∣^{2}$ ；两个非零向量垂直等价于数量积为 $0$ 。数量积可以交换，也能分配： $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$ ， $(k a) \cdot b = k (a \cdot b)$ 。所以 $(a + b)^{2} = ∣ a ∣^{2} + 2 a \cdot b + ∣ b ∣^{2}$ ，中间的系数是 $2$ 。余弦：半径为 $1$ 的圆上，从 $(1, 0)$ 逆时针转角 $θ$ ，落点的横坐标叫 $cos θ$ ，所以 $- 1 \leq cos θ \leq 1$ 。常用值： $cos 0^{\circ} = 1$ ， $cos 9 0^{\circ} = 0$ ， $cos 18 0^{\circ} = - 1$ ； $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ ，因为边长为 $1$ 的等边三角形作高，底边被分成两半， $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ 。

模和数量积互相换

由 $∣ a - b ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} - 2 a \cdot b$ ，得 $a \cdot b = \frac{∣ a ∣ ^{2} + ∣ b ∣ ^{2} - ∣ a - b ∣ ^{2}}{2}$ 。放到三角形里， $A B \cdot A C = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2}$ （ $a = BC, b = C A, c = A B$ ），两个向量要从同一顶点出发。验证： $A$ 是直角时，由勾股定理 $b^{2} + c^{2} - a^{2} = 0$ ，数量积为 $0$ ，和垂直一致。如果写成 $B A \cdot A C$ ，方向反了一个，要多一个负号。

中点式：动点的数量积换成距离

设 $M$ 是 $A B$ 的中点，则 $P A = PM + M A$ ， $PB = PM - M A$ 。相乘是平方差： $P A \cdot PB = ∣ PM ∣^{2} - ∣ M A ∣^{2} = ∣ PM ∣^{2} - \frac{∣ A B ∣ ^{2}}{4}$ 。这对平面和空间中的任何点 $P$ 都成立。 $P$ 在哪里运动，只影响 $∣ PM ∣$ 的范围。验算： $A (- 1, 0), B (1, 0), P (0, 2)$ ， $P A \cdot PB = 1 \cdot (- 1) + 4 = 3$ ， $∣ PM ∣^{2} - 1 = 3$ 。

斜着的基底不能丢交叉项

若 $a, b$ 不垂直， $∣ x a + y b ∣^{2} = x^{2} ∣ a ∣^{2} + 2 x y a \cdot b + y^{2} ∣ b ∣^{2}$ ，交叉项 $2 x y a \cdot b$ 不能省略。数量积也可以这样展开： $(a + b) \cdot (a - b) = 0$ 等价于 $∣ a ∣ = ∣ b ∣$ 。要说成两个组合向量垂直，还需要它们都非零： $a = b$ 时差向量是零向量，谈不上垂直。

先看一道例题

例 1：求垂直时的参数

$∣ a ∣ = 2, ∣ b ∣ = 3, ∣ a - b ∣ = 7$ 。求 $t$ ，使 $a + t b$ 与 $a$ 垂直。

怎么看出来：

垂直要用 $a \cdot b$ ，它由差的模平方得到。

解：

$∣ a - b ∣^{2} = 4 + 9 - 2 a \cdot b = 7$ ，所以 $a \cdot b = 3$ 。垂直即 $a \cdot (a + t b) = ∣ a ∣^{2} + t a \cdot b = 4 + 3 t = 0$ ，得 $t = - \frac{4}{3}$ 。验算：取 $a = (2, 0), b = (\frac{3}{2}, \frac{3 3}{2})$ ， $∣ a - b ∣^{2} = \frac{1}{4} + \frac{27}{4} = 7$ ； $a - \frac{4}{3} b = (0, - 23)$ ，与 $a$ 垂直。

答案：

$t = - \frac{4}{3}$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
给了模和一个差或和的模，要求别的量	平方展开求出 $a \cdot b$ ，再代入目标
从同一动点出发的 $P A \cdot PB$	取 $A B$ 中点 $M$ ，换成 $∣ PM ∣^{2} - \frac{∣ A B ∣ ^{2}}{4}$ ，再看 $P$ 在哪运动
三角形里边向量的数量积	让两个向量从同一顶点出发，用 $\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2}$
多个距离的平方和	取这些点的平均点，交叉项为零（见进阶“距离平方和”）
$4$ 点的 $A C \cdot B D$ ，只给 $4$ 条边	展开成边长平方的组合（见进阶“空间四点”）
动点满足平行和一个数量积条件，问轨迹	设倍数，解出参数表示，再消去（见进阶“求轨迹”）

三、怎么用

列出已知的量。例如 $∣ a ∣ = 1, ∣ b ∣ = 4, a \cdot (a + b) = 3$ ，求 $(a - b) \cdot (a + 2 b)$ 。
展开条件，求交叉项。 $∣ a ∣^{2} + a \cdot b = 3$ ，所以 $a \cdot b = 2$ 。
按分配律展开目标，合并同类项。 $(a - b) \cdot (a + 2 b) = ∣ a ∣^{2} + a \cdot b - 2∣ b ∣^{2}$ 。
代入。 $1 + 2 - 32 = - 29$ 。
用坐标验算。取 $a = (1, 0), b = (2, 23)$ ， $∣ b ∣ = 4$ ； $(- 1, - 23) \cdot (5, 43) = - 5 - 24 = - 29$ 。

四、再做一道

例 2：动点在边界上：中点式

正方形 $A BC D$ 的边长是 $2$ ， $P$ 在正方形的边上运动。求 $P A \cdot PC$ 的取值范围。

怎么看出来：

向量从同一动点 $P$ 出发， $A, C$ 的中点是正方形中心 $M$ 。

解：

$M$ 是 $A C$ 的中点， $∣ A C ∣ = 22$ ，所以 $P A \cdot PC = ∣ PM ∣^{2} - 2$ 。 $P$ 在边上时， $∣ PM ∣$ 最小是中心到边的距离 $1$ （在边的中点），最大是中心到顶点的距离 $2$ （在顶点）。中间的值也能取到：设 $A (0, 0), B (2, 0)$ ， $P = (t, 0), 0 \leq t \leq 2$ ， $C (2, 2)$ ，则 $P A \cdot PC = (- t) (2 - t) = t^{2} - 2 t$ ，它取遍 $[- 1, 0]$ 。其余 $3$ 条边由对称性结果相同。验算： $t = 1$ 时得 $- 1$ ； $t = 2$ 时得 $0$ 。

答案：

$[- 1, 0]$ 。

五、容易错在哪

$B A = - A B$ 。把反向的边当成同向，数量积的符号就错了。
模平方展开时交叉项的系数是 $2$ ，不要漏掉。
斜基底下不能直接令交叉项为 $0$ ，只有垂直时才行。
用中点式后，要按 $P$ 真正运动的范围求 $∣ PM ∣$ 的最值。整圆、圆弧、线段的答案可能不同。
数量积不能约分： $a \cdot b = a \cdot c$ 推不出 $b = c$ ，只能得到 $a \cdot (b - c) = 0$ ； $a$ 和 $b - c$ 都非零时才可以说它们垂直。

进阶：距离平方和

两点距离平方和

$M$ 是 $A B$ 中点时， $P A = PM + M A$ ， $PB = PM - M A$ ，分别平方再相加，得 $∣ P A ∣^{2} + ∣ PB ∣^{2} = 2∣ PM ∣^{2} + \frac{∣ A B ∣ ^{2}}{2}$ 。多个点也一样： $G$ 是 $n$ 个点 $A_{1}, \dots, A_{n}$ 坐标的平均时， $G A_{1} + \dots + G A_{n} = 0$ ，把 $∣ P A_{i} ∣^{2} = ∣ PG + G A_{i} ∣^{2}$ 相加，中间的交叉项合起来为零，所以 $\sum_{i = 1}^{n} ∣ P A_{i} ∣^{2} = n ∣ PG ∣^{2} + \sum_{i = 1}^{n} ∣ G A_{i} ∣^{2}$ ，这里 $\sum$ 表示把 $i = 1$ 到 $n$ 的各项加起来。

例 3：矩形和任意一点

$P$ 是矩形 $A BC D$ 所在平面内一点， $P A = 3, PB = 4, PC = 5$ 。求 $P D$ 。

怎么看出来：

对角线 $A C, B D$ 有同一个中点 $M$ ，两组距离平方和都能换成 $∣ PM ∣$ 。

解：

由两点距离平方和的式子： $∣ P A ∣^{2} + ∣ PC ∣^{2} = 2∣ PM ∣^{2} + \frac{∣ A C ∣ ^{2}}{2}$ ， $∣ PB ∣^{2} + ∣ P D ∣^{2} = 2∣ PM ∣^{2} + \frac{∣ B D ∣ ^{2}}{2}$ 。矩形的对角线相等，所以 $∣ P A ∣^{2} + ∣ PC ∣^{2} = ∣ PB ∣^{2} + ∣ P D ∣^{2}$ 。于是 $9 + 25 = 16 + ∣ P D ∣^{2}$ ， $∣ P D ∣^{2} = 18$ 。检查这样的图形存在： $P (0, 0), A (3, 0), B (4, 0), C (4, 3), D (3, 3)$ ， $∣ P D ∣ = 32$ 。

答案：

$P D = 32$ 。

进阶：空间四点

空间四点：对棱的数量积

取任意原点，用 $a, b, c, d$ 表示 $A, B, C, D$ 的位置。展开 $∣ A D ∣^{2} + ∣ BC ∣^{2} - ∣ A B ∣^{2} - ∣ C D ∣^{2}$ ，平方项抵消，剩下 $2 (c - a) \cdot (d - b)$ 。所以 $A C \cdot B D = \frac{∣ A D ∣ ^{2} + ∣ BC ∣ ^{2} - ∣ A B ∣ ^{2} - ∣ C D ∣ ^{2}}{2}$ 。这对任意 $4$ 点都成立，不要求共面。

例 4：对棱垂直的判定

空间 $4$ 点 $A, B, C, D$ 。证明： $A C ⊥ B D$ 的充要条件是 $∣ A B ∣^{2} + ∣ C D ∣^{2} = ∣ BC ∣^{2} + ∣ D A ∣^{2}$ （设 $A \neq = C, B \neq = D$ ）。

怎么看出来：

$A C \cdot B D$ 能写成 $4$ 条边的平方组合，垂直就是它等于 $0$ 。

解：

取任意原点，用 $a, b, c, d$ 表示 $4$ 点。 $∣ A D ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} + ∣ d ∣^{2} - 2 a \cdot d$ ， $∣ BC ∣^{2} = ∣ b ∣^{2} + ∣ c ∣^{2} - 2 b \cdot c$ ， $∣ A B ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} - 2 a \cdot b$ ， $∣ C D ∣^{2} = ∣ c ∣^{2} + ∣ d ∣^{2} - 2 c \cdot d$ 。所以 $∣ A D ∣^{2} + ∣ BC ∣^{2} - ∣ A B ∣^{2} - ∣ C D ∣^{2} = 2 (a \cdot b + c \cdot d - a \cdot d - b \cdot c) = 2 (c - a) \cdot (d - b) = 2 A C \cdot B D$ 。因此 $A C \cdot B D = 0$ 等价于两组平方和相等。

答案：

两个条件等价，都等价于 $A C \cdot B D = 0$ 。

进阶：求轨迹

平行写成倍数，再消去参数

条件是 $A P ∥ v$ 且 $A P$ 与某向量的数量积已知时，设 $A P = λ v$ ，由数量积解出 $λ$ ，就得到动点的参数表示，再消去参数得轨迹方程。例如 $B (1, s)$ 在直线 $x = 1$ 上运动， $A$ 是原点， $A P ∥ A B$ ， $A P \cdot A B = 1$ ： $λ (1 + s^{2}) = 1$ ， $P = (\frac{1}{1 + s ^{2}}, \frac{s}{1 + s ^{2}})$ ，由 $s = \frac{y}{x}$ 消去 $s$ ，得 $x^{2} + y^{2} = x$ （ $x \neq = 0$ ），是圆。最后看方程的形式判断轨迹类型：抛物线的方程可以化成 $y^{2} = 2 p x$ （ $p \neq = 0$ ）。分母为零的位置要单独排除。

真题

按这个方法练 · 77 题

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正交分解和投影：把向量拆成平行和垂直两部分

沿一个方向及其垂直方向分解，长度的平方是两部分的平方和。沿这个方向移动，只改变平行部分，所以最短距离由垂直部分决定；参数有范围时，要看最优值是否在范围内。

完整讲解 · 例题 · 可练 21 题

一、是什么

记号

向量可以写成坐标 $a = (x_{1}, y_{1})$ ，模（长度） $∣ a ∣ = x_{1}^{2} + y_{1}^{2}$ 。数量积 $a \cdot b = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$ ，也等于 $∣ a ∣∣ b ∣ cos θ$ ， $θ$ 是两向量的夹角，范围是 $0^{\circ}$ 到 $18 0^{\circ}$ 。特别地 $a \cdot a = ∣ a ∣^{2}$ ；两个非零向量垂直等价于数量积为 $0$ 。长度为 $1$ 的向量叫单位向量； $b \neq = 0$ 时， $\frac{b}{∣ b ∣}$ 是 $b$ 方向的单位向量。余弦：半径为 $1$ 的圆上，从 $(1, 0)$ 逆时针转角 $θ$ ，落点的横坐标叫 $cos θ$ ，所以 $- 1 \leq cos θ \leq 1$ 。常用值： $cos 0^{\circ} = 1$ ， $cos 9 0^{\circ} = 0$ ， $cos 18 0^{\circ} = - 1$ ； $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ ，因为边长为 $1$ 的等边三角形作高，底边被分成两半， $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ 。

沿单位方向分解

设 $e$ 是单位向量。令 $p = (a \cdot e) e$ ， $q = a - p$ 。计算得 $q \cdot e = a \cdot e - (a \cdot e) ∣ e ∣^{2} = 0$ ，所以 $q$ 为零，或者非零且与 $e$ 垂直。 $a \cdot e$ 叫 $a$ 在 $e$ 方向上的投影，可以为负，为负表示方向相反。由勾股定理， $∣ a ∣^{2} = (a \cdot e)^{2} + ∣ q ∣^{2}$ 。验算： $a = (3, 4), e = (1, 0)$ ，投影是 $3$ ， $q = (0, 4)$ ， $25 = 9 + 16$ 。平面内有两个垂直的单位向量 $e_{1}, e_{2}$ 时， $∣ a ∣^{2} = (a \cdot e_{1})^{2} + (a \cdot e_{2})^{2}$ 。空间中要有第 $3$ 个方向，这个式子只给出不超过 $∣ a ∣^{2}$ 。

方向不是单位向量时

$b \neq = 0$ 不是单位向量时，平行部分是 $t_{0} b$ ，其中 $t_{0} = \frac{a \cdot b}{∣ b ∣ ^{2}}$ 。 $a \cdot b$ 本身不是投影，要除以 $∣ b ∣$ 才是投影的长度（带符号）。这里 $b = 0$ 不行，分母是 $0$ 。

最短距离：配方，再看范围

$∣ a - t b ∣^{2} = ∣ b ∣^{2} t^{2} - 2 (a \cdot b) t + ∣ a ∣^{2} = ∣ b ∣^{2} (t - t_{0})^{2} + ∣ q ∣^{2}$ 。所以 $t$ 取全体实数时， $t = t_{0}$ 取到最小值 $∣ q ∣$ ，这时 $(a - t_{0} b) \cdot b = 0$ ： $a - t_{0} b$ 为零（最短距离是 $0$ ），或者非零且与 $b$ 垂直。如果 $t$ 只能在闭区间 $[m, n]$ 内而 $t_{0}$ 不在范围内，最小值在离 $t_{0}$ 最近的端点取到。

先看一道例题

例 1：由投影和长度反求向量

向量 $a$ 在 $b = (3, 4)$ 方向上的投影是 $2$ ， $∣ a ∣ = 13$ 。求 $a$ 。

怎么看出来：

投影给出平行部分，长度减去它得到垂直部分的长度。平面内垂直方向有两个朝向，所以可能有两个答案。

解：

单位方向 $e = (\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ ，平行部分 $2 e = (\frac{6}{5}, \frac{8}{5})$ 。垂直部分长度的平方是 $13 - 4 = 9$ ，长度是 $3$ 。与 $e$ 垂直的单位向量是 $\pm (- \frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ ，所以垂直部分是 $\pm (- \frac{12}{5}, \frac{9}{5})$ 。相加得 $a = (- \frac{6}{5}, \frac{17}{5})$ 或 $(\frac{18}{5}, - \frac{1}{5})$ 。检查：第一个 $a \cdot e = \frac{- 18 + 68}{25} = 2$ ， $∣ a ∣^{2} = \frac{36 + 289}{25} = 13$ ；第二个 $a \cdot e = \frac{54 - 4}{25} = 2$ ， $∣ a ∣^{2} = \frac{324 + 1}{25} = 13$ 。

答案：

$a = (- \frac{6}{5}, \frac{17}{5})$ 或 $(\frac{18}{5}, - \frac{1}{5})$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
向量沿一个方向的投影，或到直线的距离	分解成平行和垂直两部分，用勾股定理
$∣ a - t b ∣$ 关于 $t$ 的最小值	配方， $t_{0} = \frac{a \cdot b}{∣ b ∣ ^{2}}$ ，再查 $t$ 的范围
“对任意 $t$ 都有 $∣ a - t b ∣ \geq \dots$ ”	平方后比较，或者看最小值（见进阶“对所有 t 成立”）
动点在圆或球上，求 $A P \cdot w$	拆出圆心， $CP \cdot w$ 用模的乘积定界（见进阶“圆上的线性式”）
很多对点的向量和同一个方向作数量积	拆段，去掉垂直的部分（见进阶“分段看投影”）
单位向量的数量积外面有取整	取整只有 $- 1, 0, 1$ 三种值，分类（见进阶“取整”）

三、怎么用

找方向。例如 $a = (3, 4)$ ， $e = (1, 0)$ ， $e$ 已是单位向量；不是单位向量时，先除以模，或用 $t_{0}$ 的公式。
算投影和平行部分。 $a \cdot e = 3$ ，平行部分是 $(3, 0)$ 。
算垂直部分，并检验它和方向垂直。 $q = (0, 4)$ ， $q \cdot e = 0$ 。
写最短距离。 $∣ a - t e ∣^{2} = (t - 3)^{2} + 16$ ， $t$ 取全体实数时最小值是 $4$ ，在 $t = 3$ 取到。
若 $t$ 有范围，比较 $t_{0}$ 和范围。例如 $t \in [0, 2]$ 时， $t = 3$ 不在范围内，最近的端点是 $t = 2$ ，最小距离是 $1 + 16 = 17$ 。

四、再做一道

例 2：最优参数超出范围

$a = (3, 1), b = (1, 2)$ ， $0 \leq t \leq \frac{1}{2}$ 。求 $∣ a - t b ∣$ 的最小值。

怎么看出来：

先算不受限制时的最优值，再看它是否在范围内。

解：

$a \cdot b = 5$ ， $∣ b ∣^{2} = 5$ ， $t_{0} = 1$ 。配方： $∣ a - t b ∣^{2} = 5 t^{2} - 10 t + 10 = 5 (t - 1)^{2} + 5$ 。 $t_{0} = 1$ 不在 $[0, \frac{1}{2}]$ 内，而这个范围里 $t$ 越大离 $1$ 越近，所以在 $t = \frac{1}{2}$ 取最小值： $5 \cdot \frac{1}{4} + 5 = \frac{25}{4}$ ，长度是 $\frac{5}{2}$ 。验算： $a - \frac{1}{2} b = (\frac{5}{2}, 0)$ ，长度 $\frac{5}{2}$ 。不受限制时最小值是 $5$ ，比 $\frac{5}{2}$ 小，符合。

答案：

$\frac{5}{2}$ 。

五、容易错在哪

$a \cdot b$ 不是 $a$ 在 $b$ 方向上的投影，除非 $b$ 是单位向量。
$t$ 在闭区间内而 $t_{0}$ 在范围外时，最小值在最近的端点。那个端点不在范围内时（开区间），只能接近，取不到，没有最小值。
投影可以为负，负号表示方向相反，不要加绝对值。
只给出界不够：要写出同向或反向的具体向量，并代回全部条件。
$a - t b$ 的分解要求 $b \neq = 0$ 。

进阶：对所有 t 成立

对所有 t 成立的不等式

设 $b \neq = 0$ 。如果某个 $t_{1}$ 使 $∣ a - t b ∣ \geq ∣ a - t_{1} b ∣$ 对所有实数 $t$ 成立，那么 $t_{1}$ 就是最小值点， $t_{1} = t_{0}$ ，也就是 $(a - t_{1} b) \cdot b = 0$ ；反过来也成立。这里 $a - t_{1} b$ 可以是零向量，非零时才说它与 $b$ 垂直。另一种情形：对所有实数 $t$ 都有 $k t + m \geq 0$ ，当且仅当 $k = 0$ 且 $m \geq 0$ 。理由是 $k \neq = 0$ 时， $t$ 往一边走足够远，式子就是负的。比较 $∣ a - t u ∣$ 和 $∣ b - t v ∣$ 时，平方后相减， $t^{2}$ 的系数是 $∣ u ∣^{2} - ∣ v ∣^{2}$ 。 $u, v$ 等长时它为 $0$ ，方向不同也一样，剩下的就是这样的一次式；不等长时还是二次式，要按二次式判断。

例 3：两个距离式对所有 t 比较

$e = (1, 0)$ ， $a = (p, 3)$ ， $b = (2, v)$ 。若对所有实数 $t$ ，都有 $∣ a - t e ∣ \geq ∣ b - t e ∣$ ，求 $p$ 和 $v$ 的范围。

怎么看出来：

两边平方后 $t^{2}$ 抵消，剩下 $t$ 的一次式，要对所有 $t$ 非负。

解：

平方： $(p - t)^{2} + 9 \geq (2 - t)^{2} + v^{2}$ 。展开并消去 $t^{2}$ ，得 $(4 - 2 p) t + p^{2} + 5 - v^{2} \geq 0$ 。这是 $t$ 的一次式，对所有 $t$ 成立，要求 $4 - 2 p = 0$ ，所以 $p = 2$ 。此时式子变为 $4 + 5 - v^{2} \geq 0$ ， $v^{2} \leq 9$ 。几何上： $a, b$ 沿 $e$ 的投影必须相同， $a$ 的垂直部分不短于 $b$ 的垂直部分。边界检查： $v = 3$ 时两边相等，满足“ $\geq$ ”。

答案：

$p = 2$ ， $- 3 \leq v \leq 3$ 。

进阶：圆上的线性式

圆和球上的线性式

$x$ 的长度固定为 $r$ 时， $x \cdot w = ∣ x ∣∣ w ∣ cos θ$ ，所以 $- r ∣ w ∣ \leq x \cdot w \leq r ∣ w ∣$ 。 $r > 0, w \neq = 0$ 时，等号在 $x$ 与 $w$ 同向或反向时成立，平面和空间都一样。点在圆心 $C$ 、半径 $r$ 的圆上时，把 $A P$ 写成 $A C + CP$ ， $A C \cdot w$ 是定值， $CP \cdot w$ 才变。

例 4：圆上的线性式

$A (0, 0), C (1, 2)$ ， $∣ CP ∣ = 1$ ， $w = (3, 4)$ 。求 $A P \cdot w$ 的取值范围。

怎么看出来：

$P$ 在以 $C$ 为圆心的圆上，先拆出圆心。

解：

$A P = A C + CP$ ，所以 $A P \cdot w = A C \cdot w + CP \cdot w = 11 + CP \cdot w$ 。 $∣ w ∣ = 5$ ， $CP \cdot w = 5 cos θ$ ， $θ$ 是 $CP$ 与 $w$ 的夹角， $cos θ$ 能取 $[- 1, 1]$ 的每个值，所以范围是 $[- 5, 5]$ 。总范围是 $[6, 16]$ 。验算： $CP = (\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ 时 $P = (\frac{8}{5}, \frac{14}{5})$ ， $A P \cdot w = \frac{24 + 56}{5} = 16$ 。

答案：

$[6, 16]$ 。

进阶：分段看投影

数量积只看沿这个方向的部分

$e$ 是单位向量时，垂直于 $e$ 的部分对 $v \cdot e$ 没有贡献。所以把 $v$ 拆成首尾相接的几段，凡是垂直于 $e$ 的段都可以去掉。例如两条平行直线相距 $d$ ， $e$ 是从第一条指向第二条的单位垂直向量：从第一条上任一点到第二条上任一点的向量，与 $e$ 的数量积都是 $d$ ，不管这两点在哪。两个平行平面也一样。遇到要枚举很多向量的数量积时，先这样分类，不必逐个计算。

进阶：取整

含取整的数量积

$[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，例如 $[\frac{1}{2}] = 0$ ， $[- \frac{1}{2}] = - 1$ 。两个单位向量的数量积 $u$ 满足 $- 1 \leq u \leq 1$ ，所以 $[u]$ 只有 $3$ 种值： $u < 0$ 时是 $- 1$ ， $0 \leq u < 1$ 时是 $0$ ， $u = 1$ （两向量相同）时是 $1$ 。先用这一点列出整数等式的所有组合，再把每种组合翻译成夹角的范围，分别求目标。

真题

按这个方法练 · 21 题

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向量端点的轨迹：垂直是圆，距离和用反射

把向量看成点的位移，条件就是点的运动范围：两差向量垂直，点在以两定点为直径的圆上；两距离之和最小，把一个定点关于直线反射； $A \neq = B$ 且张角在 $0^{\circ}$ 和 $18 0^{\circ}$ 之间时，定角对应圆弧；旋转后的点，先写成“旋转中心加转过的位移”。

完整讲解 · 例题 · 可练 9 题

一、是什么

记号

向量可以写成坐标 $a = (x_{1}, y_{1})$ ，模（长度） $∣ a ∣ = x_{1}^{2} + y_{1}^{2}$ 。数量积 $a \cdot b = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$ ，也等于 $∣ a ∣∣ b ∣ cos θ$ ， $θ$ 是两向量的夹角，范围是 $0^{\circ}$ 到 $18 0^{\circ}$ 。特别地 $a \cdot a = ∣ a ∣^{2}$ ；两个非零向量垂直等价于数量积为 $0$ 。把向量 $c$ 的起点放在原点，它的终点就是一个点， $∣ c - a ∣$ 是两终点的距离。余弦：半径为 $1$ 的圆上，从 $(1, 0)$ 逆时针转角 $θ$ ，落点的横坐标叫 $cos θ$ ，所以 $- 1 \leq cos θ \leq 1$ 。常用值： $cos 0^{\circ} = 1$ ， $cos 9 0^{\circ} = 0$ ， $cos 18 0^{\circ} = - 1$ ； $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ ，因为边长为 $1$ 的等边三角形作高，底边被分成两半， $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ 。

垂直：动点在直径圆上

设 $m = \frac{a + b}{2}$ （ $A, B$ 中点对应的向量）。则 $c - a = (c - m) + \frac{b - a}{2}$ ， $c - b = (c - m) - \frac{b - a}{2}$ ，相乘是平方差： $(c - a) \cdot (c - b) = ∣ c - m ∣^{2} - \frac{∣ a - b ∣ ^{2}}{4}$ 。所以 $(c - a) \cdot (c - b) = 0$ 就是 $∣ c - m ∣ = \frac{∣ a - b ∣}{2}$ ： $C$ 在以 $A B$ 为直径的圆上（ $a \neq = b$ ）。 $A, B$ 本身也满足这个等式。验算： $A (2, 0), B (0, 0)$ ，圆心 $(1, 0)$ ，半径 $1$ ，点 $(1, 1)$ 在圆上， $(- 1, 1) \cdot (1, 1) = 0$ 。

圆上的点到定点的距离

圆心 $M$ ，半径 $r$ ，定点 $Q$ 。由三角不等式，圆上的点 $C$ 满足 $∣ QM ∣ - r \leq ∣ QC ∣ \leq ∣ QM ∣ + r$ 。两端都能取到，取到的点在直线 $QM$ 与圆的交点上。中间的值也都能取到：设 $∠ QMC = φ$ ，则 $∣ QC ∣^{2} = ∣ QM ∣^{2} + r^{2} - 2∣ QM ∣ r cos φ$ ， $cos φ$ 取遍 $[- 1, 1]$ 。 $Q$ 和 $M$ 重合时，所有距离都等于 $r$ 。

两个距离之和：反射

在直线 $l$ 上找点 $P$ ，使 $∣ P A ∣ + ∣ PB ∣$ 最小。若 $A, B$ 在 $l$ 的同侧，作 $A$ 关于 $l$ 的对称点 $A^{'}$ ，则 $∣ P A ∣ = ∣ P A^{'} ∣$ ， $∣ P A ∣ + ∣ PB ∣ = ∣ P A^{'} ∣ + ∣ PB ∣ \geq ∣ A^{'} B ∣$ 。等号在 $P$ 为线段 $A^{'} B$ 与 $l$ 的交点时成立。若 $A, B$ 在 $l$ 的异侧，线段 $A B$ 已经穿过 $l$ ，不用反射，最小值就是 $∣ A B ∣$ 。求差的绝对值的最大值正好相反： $A, B$ 在异侧时才反射 $B$ 得 $B^{'}$ ，再用 $∣ P A ∣ - ∣ P B^{'} ∣ \leq ∣ A B^{'} ∣$ 。分 $3$ 种情形： $A, B^{'}$ 重合时，差恒为 $0$ ，每个 $P$ 都是最大值；直线 $A B^{'}$ 与 $l$ 相交时，等号在交点成立；直线 $A B^{'}$ 与 $l$ 平行时，差只能接近 $∣ A B^{'} ∣$ ，取不到，没有最大值。

先看一道例题

例 1：垂足的轨迹

$A (4, 0)$ ， $l$ 是绕原点 $O$ 转动的直线， $H$ 是 $A$ 到 $l$ 的垂足。求 $H$ 的轨迹。

怎么看出来：

垂足满足 $A H ⊥ O H$ ，这是两个差向量垂直，也就是直径圆的条件。

解：

$H A \cdot H O = 0$ （ $H$ 与 $A$ 或 $O$ 重合时也成立），所以 $H$ 在以 $O A$ 为直径的圆上：圆心 $(2, 0)$ ，半径 $2$ 。反过来，圆上每一点都能取到： $H \neq = O$ 时，取 $l$ 为直线 $O H$ ，垂足正好是 $H$ ； $H = O$ 时取 $l$ 为 $y$ 轴。检查： $l : y = x$ 时垂足是 $(2, 2)$ ， $(2 - 2)^{2} + 2^{2} = 4$ 。

答案：

圆 $(x - 2)^{2} + y^{2} = 4$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
$(c - a) \cdot (c - b) = 0$	$C$ 在以 $A B$ 为直径的圆上，圆心是中点
一条直线上的动点，求到两定点的距离和或差	和：同侧反射。差：异侧反射。反射后再连线
动点限制在一条线段上	先查连线的交点是否在线段上（见进阶“距离和的端点”）
两个差向量的夹角是定值	找弦、张角和圆弧（见进阶“定角”）
圆上的点绕另一个点转固定的角	写成“旋转中心加转过的位移”，新轨迹还是圆。原轨迹是直线时，新轨迹是直线（见进阶“旋转”）
过圆内或圆外一点的弦，问两段的乘积	$G A \cdot G U = ∣ OG ∣^{2} - R^{2}$ （见进阶“过定点的弦”）

三、怎么用

把向量换成点。例如 $a = (2, 0), b = (0, 0)$ ， $(c - a) \cdot (c - b) = 0$ ， $A, B, C$ 是这些向量的终点。
认出轨迹。这是垂直条件， $C$ 在以 $A B$ 为直径的圆上：圆心 $M (1, 0)$ ，半径 $r = 1$ 。
写出要的量。例如求 $C$ 的纵坐标的范围，纵坐标就是 $c$ 和 $(0, 1)$ 的数量积。
由圆心和半径定范围。圆心纵坐标是 $0$ ，半径是 $1$ ，所以纵坐标在 $[- 1, 1]$ 内；两端在 $C = (1, 1)$ 和 $C = (1, - 1)$ 取到， $(- 1, 1) \cdot (1, 1) = 0$ 。

四、再做一道

例 2：异侧反射，求差的最大值

$A (0, 2), B (4, - 1)$ ， $P$ 在 $x$ 轴上。求 $∣ P A ∣ - ∣ PB ∣$ 的最大值和此时 $P$ 的位置。

怎么看出来：

$A, B$ 在 $x$ 轴异侧。差的最大值要两个点在同侧，所以把 $B$ 反射上来。

解：

$B$ 关于 $x$ 轴的对称点是 $B^{'} (4, 1)$ ， $∣ PB ∣ = ∣ P B^{'} ∣$ 。由三角不等式， $∣ P A ∣ - ∣ P B^{'} ∣ \leq ∣ A B^{'} ∣ = 16 + 1 = 17$ 。等号要求 $P$ 在直线 $A B^{'}$ 上且在线段 $A B^{'}$ 外。直线 $A B^{'}$ 是 $y = 2 - \frac{x}{4}$ ，令 $y = 0$ 得 $x = 8$ 。检查： $P (8, 0)$ 时 $∣ P A ∣ = 68 = 217$ ， $∣ PB ∣ = 17$ ，差为 $17$ 。

答案：

最大值是 $17$ ， $P (8, 0)$ 。

五、容易错在哪

定角 $γ \neq = 9 0^{\circ}$ 时，轨迹是圆弧，不能用整个圆的最值。求出最值后要确认那个点在弧上。
线段上求距离和，先查连线的交点是否在线段上；在线段外时，答案在端点。
求距离和的最小值时，异侧直接连 $A B$ ，不用反射；求距离差绝对值的最大值时，异侧要先反射一个点。两件事不要弄反。
绕非原点的点旋转时，先减去中心，转完再加回去。只转坐标，圆心会错。
$a = b$ 时 $(c - a) \cdot (c - b) = ∣ c - a ∣^{2}$ ，条件只有 $c = a$ 一点，不是圆。

进阶：距离和的端点

交点不在线段上

$P$ 只能在线段 $QR$ 上，而线段 $A^{'} B$ 与直线的交点 $T$ 落在线段外面时，最小值不是 $∣ A^{'} B ∣$ ，而在离 $T$ 较近的端点 $R$ 取到。理由：设 $P$ 在线段上且不是 $R$ ，那么 $R$ 在 $P, T$ 之间， $T$ 在 $A^{'} B$ 上，所以 $R$ 在 $△ A^{'} PB$ 的内部。延长 $A^{'} R$ 交 $PB$ 于 $S$ ，由三角不等式， $∣ A^{'} R ∣ + ∣ RB ∣ \leq ∣ A^{'} R ∣ + ∣ RS ∣ + ∣ SB ∣ = ∣ A^{'} S ∣ + ∣ SB ∣ \leq ∣ A^{'} P ∣ + ∣ PS ∣ + ∣ SB ∣ = ∣ A^{'} P ∣ + ∣ PB ∣$ 。

进阶：定角

定角：圆弧，不是整圆

设 $A \neq = B$ ， $0^{\circ} < γ < 18 0^{\circ}$ 。同一条弦 $A B$ 上，在弦的同侧看 $A B$ 的张角相等的点，在一段圆弧上（圆周角定理）。张角 $γ$ 时，由 $∣ A B ∣ = 2 r sin γ$ 得半径 $r$ 。弦另一侧的那段弧上，张角是 $18 0^{\circ} - γ$ ，所以 $γ \neq = 9 0^{\circ}$ 时不能把整个圆都算进去。张角是 $0^{\circ}$ 时点在直线 $A B$ 上线段外的部分，张角是 $18 0^{\circ}$ 时点在开线段 $A B$ 上，都不是圆弧。

例 3：定角的圆弧

$A (- 1, 0), B (1, 0)$ ， $P$ 在 $x$ 轴上方， $∠ A PB = 6 0^{\circ}$ 。求 $P$ 的纵坐标的最大值。

怎么看出来：

定角看固定的弦， $P$ 在一段圆弧上，最高点在弧的中点。

解：

弦长 $∣ A B ∣ = 2$ ，由 $2 = 2 r sin 6 0^{\circ}$ 得 $r = \frac{2}{3}$ 。圆心在 $A B$ 的垂直平分线即 $y$ 轴上，到 $A B$ 中点的距离是 $r^{2} - 1 = \frac{1}{3}$ 。 $P$ 在 $x$ 轴上方且张角是锐角，圆心也在上方，所以圆心是 $(0, \frac{1}{3})$ 。这段弧的最高点纵坐标是 $\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 3$ 。检查： $P (0, 3)$ 时 $∣ P A ∣ = ∣ PB ∣ = ∣ A B ∣ = 2$ ，等边三角形，张角是 $6 0^{\circ}$ 。下方那段弧上张角是 $12 0^{\circ}$ ，不属于这个轨迹。

答案：

$3$ 。

进阶：旋转 · 先修：特殊角的正弦和余弦

旋转

绕原点逆时针转 $9 0^{\circ}$ ： $(x, y) \to (- y, x)$ ，因为新旧两个向量的数量积是 $0$ ，长度也相等。绕点 $A$ 转，要先取位移： $Q = A + R (P - A)$ ， $R$ 表示转动。如果 $P$ 在圆心 $O$ 、半径 $r$ 的圆上，写 $P = O + u$ ， $∣ u ∣ = r$ ，则 $Q = [A + R (O - A)] + R u$ 。 $R u$ 长度仍是 $r$ ，方向取遍一周，所以 $Q$ 在半径为 $r$ 的圆上，圆心是 $A + R (O - A)$ 。转 $6 0^{\circ}$ 时， $(x, y) \to (x cos 6 0^{\circ} - y sin 6 0^{\circ}, x sin 6 0^{\circ} + y cos 6 0^{\circ})$ 。

例 4：旋转后两条轨迹求交

$A$ 是原点。 $P$ 在圆 $(x - 2)^{2} + y^{2} = 1$ 上， $Q$ 在圆 $x^{2} + (y - 3)^{2} = 1$ 上，且 $Q$ 是 $P$ 绕 $A$ 逆时针转 $9 0^{\circ}$ 得到的点。这样的 $Q$ 有几个？写出它们。

怎么看出来：

$P$ 转过之后落在一个新圆上， $Q$ 同时在新圆和给定的圆上，问题变成两圆求交。

解：

绕原点转 $9 0^{\circ}$ ： $(x, y) \to (- y, x)$ 。第一个圆的圆心 $(2, 0)$ 转到 $(0, 2)$ ，半径不变，所以 $Q$ 在圆 $x^{2} + (y - 2)^{2} = 1$ 上。两圆方程相减： $(y - 2)^{2} - (y - 3)^{2} = 0$ ， $2 y - 5 = 0$ ， $y = \frac{5}{2}$ 。代入得 $x^{2} = \frac{3}{4}$ ， $x = \pm \frac{3}{2}$ 。反转回去， $(x, y) \to (y, - x)$ ： $Q (\frac{3}{2}, \frac{5}{2})$ 对应 $P (\frac{5}{2}, - \frac{3}{2})$ ，检查 $(\frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} = 1$ ；另一个点同样代回也成立。

答案：

$2$ 个： $Q (\pm \frac{3}{2}, \frac{5}{2})$ 。

进阶：平移再反射

定长线段：先平移，再反射

路线里有一段长度和方向都固定时，它对总长的贡献是常数。把后面的终点沿这一段反向平移，定长段就去掉了，剩下的按反射处理。最后把交点平移回去，写出真正的位置。

例 5：定长线段在直线上滑动

$A (0, 2), B (4, 2)$ ， $P, Q$ 在 $x$ 轴上， $Q$ 比 $P$ 靠右 $1$ 个单位。求 $∣ A P ∣ + ∣ PQ ∣ + ∣ QB ∣$ 的最小值和 $P$ 的位置。

怎么看出来：

$∣ PQ ∣ = 1$ 是常数。把 $B$ 向左平移 $1$ ， $∣ QB ∣$ 就等于 $∣ P B^{'} ∣$ ，两段都从 $P$ 出发。

解：

设 $B^{'} (3, 2)$ ， $QB = P B^{'}$ ，所以 $∣ QB ∣ = ∣ P B^{'} ∣$ ，总长 $= ∣ A P ∣ + ∣ P B^{'} ∣ + 1$ 。 $A, B^{'}$ 在 $x$ 轴同侧，作 $A$ 的对称点 $A^{'} (0, - 2)$ ： $∣ A P ∣ + ∣ P B^{'} ∣ \geq ∣ A^{'} B^{'} ∣ = 9 + 16 = 5$ 。等号在直线 $A^{'} B^{'}$ 与 $x$ 轴的交点： $y = - 2 + \frac{4}{3} x = 0$ ， $x = \frac{3}{2}$ 。总长最小值 $= 6$ 。检查： $P (\frac{3}{2}, 0), Q (\frac{5}{2}, 0)$ ， $∣ A P ∣ = ∣ QB ∣ = \frac{5}{2}$ ， $\frac{5}{2} + 1 + \frac{5}{2} = 6$ 。

答案：

最小值是 $6$ ， $P (\frac{3}{2}, 0)$ 。

进阶：过定点的弦

过定点的弦

圆心 $O$ 、半径 $R$ ，过点 $G$ 的直线交圆于 $A, U$ ， $M$ 是 $A U$ 的中点。由中点式， $G A \cdot G U = ∣ GM ∣^{2} - \frac{∣ A U ∣ ^{2}}{4}$ 。又 $OM ⊥ A U$ ，所以 $\frac{∣ A U ∣ ^{2}}{4} = R^{2} - ∣ OM ∣^{2}$ ， $∣ GM ∣^{2} + ∣ OM ∣^{2} = ∣ OG ∣^{2}$ 。合起来 $G A \cdot G U = ∣ OG ∣^{2} - R^{2}$ ，和直线的方向无关。 $G$ 在圆内时两个向量反向，所以 $∣ G A ∣∣ G U ∣ = R^{2} - ∣ OG ∣^{2}$ 。验算： $O$ 是原点， $R = 5, G (3, 0)$ ， $A (5, 0), U (- 5, 0)$ ，数量积 $2 \cdot (- 8) = - 16 = 9 - 25$ 。

真题

按这个方法练 · 9 题

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三角形的中心：把定义写成数量积方程

外心到顶点等距，重心让顶点向量的和为零，垂心让高和对边垂直，内心按对边长加权。先把中心取作原点或把定义写成等式，再按平方展开。

完整讲解 · 例题 · 可练 25 题

一、是什么

记号

重心：向量和为零

重心 $G$ 是 $3$ 条中线的交点，坐标是 $3$ 个顶点坐标的平均，所以 $G A + GB + GC = 0$ 。任取一点 $P$ ，把每个向量写成 $PG + G A$ 这样，得 $P A + PB + PC = 3 PG$ 。验算： $A (0, 0), B (3, 0), C (0, 3)$ 时 $G (1, 1)$ ， $(- 1, - 1) + (2, - 1) + (- 1, 2) = (0, 0)$ 。取 $G$ 作原点，就能把 $GC$ 换成 $- G A - GB$ ，未知向量少了一个。

外心：等距变成平方差

外心 $O$ 到 $3$ 个顶点的距离都是外接圆半径 $R$ 。由 $∣ O A - OB ∣^{2} = c^{2}$ 展开，得 $O A \cdot OB = R^{2} - \frac{c ^{2}}{2}$ ，其余两对也一样。另一个常用式子： $∣ OB ∣ = ∣ O A ∣$ 即 $∣ A B - A O ∣^{2} = ∣ A O ∣^{2}$ ，展开得 $A O \cdot A B = \frac{1}{2} ∣ A B ∣^{2}$ ，同样有 $A O \cdot A C = \frac{1}{2} ∣ A C ∣^{2}$ 。这不需要知道三角形的形状。

先看一道例题

例 1：重心作原点

$△ A BC$ 的重心为 $G$ ， $G A ⊥ GB$ 。证明 $a^{2} + b^{2} = 5 c^{2}$ 。

怎么看出来：

条件是从 $G$ 出发的两个向量垂直，所以取 $G$ 作原点，第三个向量用和为零换掉。

解：

记 $u = G A, v = GB$ ，则 $GC = - u - v$ ，且 $u \cdot v = 0$ 。 $c^{2} = ∣ u - v ∣^{2} = ∣ u ∣^{2} + ∣ v ∣^{2}$ 。 $a^{2} = ∣ GB - GC ∣^{2} = ∣ u + 2 v ∣^{2} = ∣ u ∣^{2} + 4∣ v ∣^{2}$ 。 $b^{2} = ∣ GC - G A ∣^{2} = ∣2 u + v ∣^{2} = 4∣ u ∣^{2} + ∣ v ∣^{2}$ 。相加得 $a^{2} + b^{2} = 5 (∣ u ∣^{2} + ∣ v ∣^{2}) = 5 c^{2}$ 。验算： $u = (1, 0), v = (0, 1)$ 时 $c^{2} = 2, a^{2} = 5, b^{2} = 5$ 。

答案：

$a^{2} + b^{2} = 5 c^{2}$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
外心，且给了边长或加权的向量和	取外心作原点，用等模和 $O A \cdot OB = R^{2} - \frac{c ^{2}}{2}$
重心，或中线垂直这样的条件	取重心作原点， $GC = - G A - GB$
$A O = x A B + y A C$ ， $O$ 是外心	两边和 $A B, A C$ 作数量积，列方程（见进阶“外心的系数”）
内心或角平分线	用单位向量定方向，权重是对边（见进阶“内心”）
垂心，或几个顶点向量的和	用高和对边垂直，外心作原点时 $O H = O A + OB + OC$ （见进阶“垂心”）

三、怎么用

认出是哪个中心，写下它的定义。例如 $O$ 是 $△ A BC$ 的外心， $A B = 4$ ，求 $A O \cdot A B$ 。定义是 $∣ O A ∣ = ∣ OB ∣$ 。
选好出发点，把向量统一。要的是从 $A$ 出发的向量，所以写 $OB = A B - A O$ ， $O A = - A O$ 。
按平方展开。 $∣ A B - A O ∣^{2} = ∣ A O ∣^{2}$ ，得 $∣ A B ∣^{2} - 2 A B \cdot A O = 0$ 。
只解要的量。 $A O \cdot A B = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ 。
用具体的点验算。 $A (0, 0), B (4, 0)$ ，外心在 $A B$ 的垂直平分线上，横坐标是 $2$ ，所以 $A O \cdot A B = 2 \cdot 4 = 8$ 。

四、再做一道

例 2：外心作原点，求向量和的长度

$△ A BC$ 的三边长是 $6, 8, 10$ ，外接圆半径是 $5$ ，外心为 $O$ 。求 $∣ O A + OB + OC ∣$ 。

怎么看出来：

向量都从外心出发，模都是 $5$ 。按平方展开后，交叉项用边长表示。

解：

平方展开： $∣ O A + OB + OC ∣^{2} = 3 R^{2} + 2 (O A \cdot OB + OB \cdot OC + OC \cdot O A)$ 。每个交叉项等于 $R^{2}$ 减去对应边长平方的一半，所以括号内是 $3 R^{2} - \frac{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}{2}$ 。整理得 $9 R^{2} - (a^{2} + b^{2} + c^{2}) = 225 - (36 + 64 + 100) = 25$ ，长度是 $5$ 。验算：这是直角三角形，外心是斜边中点。设直角顶点为 $C$ ，则 $O A + OB = 0$ ，和就是 $OC$ ，长度是 $5$ 。

答案：

$5$ 。

五、容易错在哪

内心的权重是对边，不是邻边： $I A$ 前面的系数是 $a = BC$ 。
外心不是重心。一般 $O A + OB + OC \neq = 0$ ，只有外心和重心重合（等边三角形）时才为零。
角平分线的方向要用单位向量相加。 $A B + A C$ 只在 $A B = A C$ 时沿角平分线。
外心可以在三角形外面， $A O = x A B + y A C$ 的系数可能为负，不要默认是正的。
四面体重心的向量和为零来自取平均，不需要四面体有对称性。

进阶：外心的系数

外心写成两边的组合

设 $A O = x A B + y A C$ 。分别和 $A B, A C$ 作数量积，右边用 $A B \cdot A C = b c cos A$ ，左边用上面的平方差式子，得到关于 $x, y$ 的两个方程。这里 $A B, A C$ 不垂直，交叉项 $A B \cdot A C$ 不能丢。

例 3：切线与对边的交点

$△ A BC$ 中 $A B = 2, A C = 4$ ，外接圆在 $A$ 处的切线交直线 $BC$ 于 $D$ 。求 $B D : BC$ 。

怎么看出来：

切线和半径垂直，所以 $A O \cdot A D = 0$ 。 $D$ 在直线 $BC$ 上， $A D$ 能写成 $A B, A C$ 的组合，而 $A O$ 和这两个向量的数量积只要边长。

解：

设 $A D = (1 - t) A B + t A C$ ， $t$ 可以是任意实数，因为 $D$ 可能在线段外。 $A O \cdot A B = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ ， $A O \cdot A C = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ 。垂直条件给出 $2 (1 - t) + 8 t = 0$ ，所以 $t = - \frac{1}{3}$ 。由 $B D = t BC$ ， $D$ 在 $CB$ 的延长线上， $B D = \frac{1}{3} BC$ 。验算： $D B = \frac{1}{3} BC, D C = \frac{4}{3} BC$ ，切割线定理要求 $D A^{2} = D B \cdot D C$ ，弦切角又给出 $△ D A B \sim △ D C A$ ，所以 $\frac{D B}{D C} = \frac{A B ^{2}}{A C ^{2}} = \frac{1}{4}$ ，一致。

答案：

$B D : BC = 1 : 3$ （ $D$ 在 $CB$ 的延长线上）。

进阶：内心 · 先修：内切圆半径等于面积除以半周长

内心：权重是对边长

内心 $I$ 是角平分线的交点，满足 $a I A + b I B + c I C = 0$ ，权重是每个顶点的对边。理由：设点 $I$ 满足这个等式，把向量都换成从 $A$ 出发，得 $A I = \frac{b A B + c A C}{a + b + c} = \frac{b c}{a + b + c} (\frac{A B}{c} + \frac{A C}{b})$ 。括号里是两个长度为 $1$ 的向量相加，和沿菱形的对角线，也就是 $∠ A$ 的平分线。所以 $I$ 在 $∠ A$ 的平分线上。再把向量都换成从 $B$ 出发： $I A = B A - B I$ ， $I B = - B I$ ， $I C = BC - B I$ ，代入得 $B I = \frac{a B A + c BC}{a + b + c} = \frac{a c}{a + b + c} (\frac{B A}{c} + \frac{BC}{a})$ ，所以 $I$ 也在 $∠ B$ 的平分线上。两条角平分线只交于内心，所以 $I$ 就是内心。边长不等时， $A B + A C$ 不沿角平分线。

例 4：内心到顶点的距离

$△ A BC$ 中 $A B = 8, A C = 5, ∠ A = 6 0^{\circ}$ ，内心为 $I$ 。求 $A I$ 。

怎么看出来：

先用余弦定理求第三边，再用对边长权重写出 $A I$ ，平方展开。

解：

$a^{2} = ∣ A C - A B ∣^{2} = 25 + 64 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 49$ ， $a = 7$ 。这里 $b = 5, c = 8$ ， $A I = \frac{5 A B + 8 A C}{20}$ 。 $A B \cdot A C = 20$ ，所以 $∣5 A B + 8 A C ∣^{2} = 25 \cdot 64 + 64 \cdot 25 + 80 \cdot 20 = 4800$ ， $A I^{2} = \frac{4800}{400} = 12$ 。验算：面积 $S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \frac{3}{2} = 103$ ，半周长 $10$ ，内切圆半径 $r = 3$ 。 $A I$ 平分 $6 0^{\circ}$ ，所以 $A I = \frac{r}{sin 3 0 ^{\circ}} = 23$ 。

答案：

$A I = 23$ 。

进阶：垂心

垂心，和四面体的重心

垂心 $H$ 是 $3$ 条高的交点，所以 $H A \cdot BC = 0$ ，整理得 $H A \cdot H B = H B \cdot H C = H C \cdot H A$ 。四面体 $A BC D$ 的重心 $G$ 是 $4$ 个顶点坐标的平均，所以 $G A + GB + GC + G D = 0$ ，任取一点 $P$ 有 $P A + PB + PC + P D = 4 PG$ 。这只用到取平均，不要求四面体对称。

例 5：外心作原点找垂心

$O$ 是 $△ A BC$ 的外心，点 $H$ 满足 $O H = O A + OB + OC$ 。证明 $H$ 是垂心。

怎么看出来：

要证垂直，就算数量积。外心出发的向量等模，平方差为零。

解：

$A H = O H - O A = OB + OC$ ， $BC = OC - OB$ 。所以 $A H \cdot BC = ∣ OC ∣^{2} - ∣ OB ∣^{2} = 0$ 。如果 $H = A$ ，就有 $OB + OC = 0$ ，此时等式没有说明方向，但 $BC$ 是直径， $∠ A$ 是直角，直角顶点 $A$ 正是垂心。否则 $A H ⊥ BC$ ，即 $H$ 在 $A$ 引出的高上。把字母 $A, B, C$ 轮换，表达式不变，所以 $H$ 也在另外 $2$ 条高上。 $3$ 条高交于一点，这点就是 $H$ 。

答案：

$H$ 是垂心。

真题

按这个方法练 · 25 题

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分点和共线：用系数表示位置，再比较系数

线段上的点可以写成 $OP = (1 - t) O A + t OB$ ，系数的和是 $1$ 。用两个不共线的向量表示同一个点，对应系数相等，由此求交点；把参数代入长度或数量积，就能求范围。

完整讲解 · 例题 · 可练 10 题

一、是什么

记号

向量可以写成坐标 $a = (x_{1}, y_{1})$ ，模（长度） $∣ a ∣ = x_{1}^{2} + y_{1}^{2}$ 。数量积 $a \cdot b = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$ ，也等于 $∣ a ∣∣ b ∣ cos θ$ ， $θ$ 是两向量的夹角，范围是 $0^{\circ}$ 到 $18 0^{\circ}$ 。特别地 $a \cdot a = ∣ a ∣^{2}$ ；两个非零向量垂直等价于数量积为 $0$ 。 $A B = OB - O A$ ， $O$ 是任意一点。余弦：半径为 $1$ 的圆上，从 $(1, 0)$ 逆时针转角 $θ$ ，落点的横坐标叫 $cos θ$ ，所以 $- 1 \leq cos θ \leq 1$ 。常用值： $cos 0^{\circ} = 1$ ， $cos 9 0^{\circ} = 0$ ， $cos 18 0^{\circ} = - 1$ ； $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ ，因为边长为 $1$ 的等边三角形作高，底边被分成两半， $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ 。

分点公式

设 $A \neq = B$ 。 $P$ 在直线 $A B$ 上，就是 $A P = t A B$ 。代入 $A P = OP - O A$ ，得 $OP = (1 - t) O A + t OB$ 。 $0 \leq t \leq 1$ 时 $P$ 在线段 $A B$ 上； $t < 0$ 或 $t > 1$ 时在线段外。靠近 $B$ 时， $OB$ 的系数更大。例如 $P$ 在线段 $A B$ 上且 $A P : PB = 1 : 3$ ，则 $t = \frac{1}{4}$ （只说距离比时， $P$ 也可能在线段外）， $OP = \frac{3}{4} O A + \frac{1}{4} OB$ 。

共线：系数和为 1

设 $A \neq = B$ ， $O$ 不在直线 $A B$ 上。若 $OP = x O A + y OB$ ，则 $P$ 在直线 $A B$ 上等价于 $x + y = 1$ 。从上面的公式得到 $x + y = 1$ ；反过来， $x + y = 1$ 时 $A P = y A B$ 。 $O$ 在直线上时， $O A, OB$ 共线，这种写法不唯一，条件 $x + y = 1$ 就不能这样用。

比较系数

$a, b$ 不共线时， $x a + y b = x^{'} a + y^{'} b$ 就推出 $x = x^{'}, y = y^{'}$ 。理由：若 $x \neq = x^{'}$ ，移项得 $a = \frac{y ^{'} - y}{x - x ^{'}} b$ ， $a, b$ 就共线了，矛盾。所以一个点用两种方式表示，对应系数相等，能解出参数。斜着的基底也可以比较系数，但算模时不能当成直角坐标。

先看一道例题

例 1：由垂直求分点的位置

$△ A BC$ 中 $A B = 3, A C = 2, ∠ A = 6 0^{\circ}$ ， $D$ 在直线 $BC$ 上， $A D ⊥ BC$ 。求 $B D : D C$ 。

怎么看出来：

$D$ 的位置是未知的 $t$ ，垂直条件是关于 $t$ 的方程。

解：

设 $A D = (1 - t) A B + t A C$ ， $BC = A C - A B$ 。由 $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ （等边三角形作高，底边分成两半）， $A B \cdot A C = 3 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 3$ 。 $A B \cdot BC = 3 - 9 = - 6$ ， $A C \cdot BC = 4 - 3 = 1$ 。所以 $A D \cdot BC = - 6 (1 - t) + t = 7 t - 6 = 0$ ， $t = \frac{6}{7}$ 。 $t$ 在 $[0, 1]$ 内， $D$ 在线段 $BC$ 上， $B D = \frac{6}{7} BC$ ，所以 $B D : D C = 6 : 1$ 。验算： $A (0, 0), B (3, 0), C (1, 3)$ ， $D = (\frac{9}{7}, \frac{6 3}{7})$ ， $A D \cdot BC = - \frac{18}{7} + \frac{18}{7} = 0$ 。

答案：

$B D : D C = 6 : 1$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
点在线段上，给了比例	写 $OP = (1 - t) O A + t OB$ ， $t$ 在 $[0, 1]$ 内
两条线段或中线相交	交点用两种方式表示，比较系数
动点在线段上，问长度或数量积的范围	代入参数化成二次式，比较顶点和端点（见进阶“线段上的范围”）
三点共线，含参数	取其中两个不同的点作基准， $A C = λ A B$ （ $A \neq = B$ ）；或用系数和为 $1$ （ $O$ 不在直线上）（见进阶“共线与等距”）
三角形内一点，正权重的顶点向量加权和等于零	换成从一个顶点出发，找交点，求面积比。权重有负数时先查交点是否存在（见进阶“面积比”）

三、怎么用

确定 $t$ 。例如 $O$ 是原点， $A (4, 0), B (0, 4)$ ， $P$ 在线段 $A B$ 上， $A P = \frac{1}{4} A B$ ，所以 $t = \frac{1}{4}$ 。
写出分点式，注意哪个系数对应哪个点。 $OP = \frac{3}{4} O A + \frac{1}{4} OB$ 。
计算。 $OP = (3, 0) + (0, 1) = (3, 1)$ 。
用定义验算。 $A P = (- 1, 1) = \frac{1}{4} (- 4, 4) = \frac{1}{4} A B$ 。系数和是 $\frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$ 。

四、再做一道

例 2：两线相交，比较系数

$△ A BC$ 中， $D$ 是 $A B$ 的中点， $E$ 在 $A C$ 上且 $A E = \frac{1}{3} A C$ ， $BE$ 与 $C D$ 交于 $P$ 。用 $A B, A C$ 表示 $A P$ 。

怎么看出来：

$P$ 同时在两条线段上，能写出两种表示。 $A B, A C$ 不共线，可以比较系数。

解：

记 $a = A B, b = A C$ 。 $A D = \frac{1}{2} a$ ， $A E = \frac{1}{3} b$ 。 $P$ 在 $C D$ 上： $A P = (1 - s) b + s \cdot \frac{1}{2} a$ 。 $P$ 在 $BE$ 上： $A P = (1 - t) a + t \cdot \frac{1}{3} b$ 。比较系数： $\frac{s}{2} = 1 - t$ ， $1 - s = \frac{t}{3}$ 。由第一式 $s = 2 - 2 t$ ，代入第二式： $2 t - 1 = \frac{t}{3}$ ， $t = \frac{3}{5}$ ， $s = \frac{4}{5}$ ，都在 $[0, 1]$ 内。所以 $A P = \frac{2}{5} a + \frac{1}{5} b$ 。检查：两种表示都给出 $a$ 的系数 $\frac{2}{5}$ ， $b$ 的系数 $\frac{1}{5}$ 。

答案：

$A P = \frac{2}{5} A B + \frac{1}{5} A C$ 。

五、容易错在哪

$OP = x O A + y OB$ 中的系数是有方向的，可以为负，不能直接当成长度比。
点在线段上要写 $t \in [0, 1]$ ；漏掉上界或下界，最值可能取到线段外。
用斜基底算模时，要带上交叉项 $2 x y a \cdot b$ ，不能按直角坐标算。
比较系数之前要确认两个基向量不共线。
分点系数容易写反：点靠近 $B$ ， $OB$ 的系数更大。

进阶：共线与等距

等距的点

$A, B, C, D$ 依次等距共线时， $A B = BC = C D$ 。任取一点 $E$ ， $EC = 2 EB - E A$ ， $E D = 3 EB - 2 E A$ ，系数和都是 $1$ 。把它们代入数量积，所有量都用 $E A, EB$ 表示。

例 3：共线求参数

$a, b$ 不共线， $O A = a + b$ ， $OB = 2 a - b$ ， $OC = k a + 3 b$ 。若 $A, B, C$ 共线，求 $k$ 。

怎么看出来：

共线就是 $A C$ 是 $A B$ 的倍数，比较 $a, b$ 的系数。

解：

$A B = a - 2 b$ ， $A C = (k - 1) a + 2 b$ 。设 $A C = λ A B$ 。 $a, b$ 不共线，比较系数： $k - 1 = λ$ ， $2 = - 2 λ$ 。所以 $λ = - 1$ ， $k = 0$ 。用系数和验算： $OC = 3 b = x (a + b) + y (2 a - b)$ ，比较得 $x + 2 y = 0$ ， $x - y = 3$ ，解得 $x = 2, y = - 1$ ， $x + y = 1$ 。

答案：

$k = 0$ 。

进阶：面积比

加权和为零与面积比

若 $P$ 在 $△ A BC$ 内， $λ P A + μ PB + ν PC = 0$ ， $λ, μ, ν > 0$ ，先把向量都换成从 $A$ 出发，得 $A P = \frac{μ A B + ν A C}{λ + μ + ν}$ 。再把分子的系数和凑成 $1$ ，就找到 $A P$ 与 $BC$ 的交点。两个三角形底相同时，面积比等于高的比。

例 4：加权和为零，求面积比

$P$ 在 $△ A BC$ 内， $P A + 2 PB + 3 PC = 0$ 。求 $△ PBC$ 与 $△ A BC$ 的面积比。

怎么看出来：

把向量换成从 $A$ 出发，就能看出 $A P$ 与 $BC$ 交在哪里。两个三角形共底 $BC$ ，比高就行。

解：

$PB = A B - A P$ ， $PC = A C - A P$ ， $P A = - A P$ 。代入得 $6 A P = 2 A B + 3 A C$ 。写成 $A P = \frac{5}{6} \cdot \frac{2 A B + 3 A C}{5}$ 。设 $A D = \frac{2}{5} A B + \frac{3}{5} A C$ ，系数和是 $1$ ，所以 $D$ 在 $BC$ 上，且 $A P = \frac{5}{6} A D$ 。于是 $P D = \frac{1}{6} A D$ 。 $△ PBC$ 和 $△ A BC$ 同底 $BC$ ，高的比等于 $P D : A D = 1 : 6$ 。

答案：

$\frac{1}{6}$ 。

进阶：线段上的范围 · 先修：二次函数配方

例 5：线段上的范围

$△ A BC$ 中 $A B = 2, A C = 3, cos A = \frac{1}{3}$ 。 $P$ 在 $BC$ 上，从中点走到 $C$ 。求 $∣ A P ∣$ 的取值范围。

怎么看出来：

$P$ 只在后半段， $t \in [\frac{1}{2}, 1]$ 。平方后是二次式，顶点可能不在范围内。

解：

设 $A P = (1 - t) A B + t A C$ ， $\frac{1}{2} \leq t \leq 1$ 。 $A B \cdot A C = 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{3} = 2$ 。 $∣ A P ∣^{2} = 4 (1 - t)^{2} + 9 t^{2} + 4 t (1 - t) = 9 t^{2} - 4 t + 4 = 9 (t - \frac{2}{9})^{2} + \frac{32}{9}$ 。顶点 $t = \frac{2}{9}$ 不在范围内，在范围内 $t$ 越大值越大。 $t = \frac{1}{2}$ 时值为 $\frac{9}{4} - 2 + 4 = \frac{17}{4}$ ； $t = 1$ 时值为 $9$ ，这就是 $A C^{2}$ 。所以 $∣ A P ∣ \in [\frac{17}{2}, 3]$ 。如果 $P$ 能走遍整条 $BC$ ， $t = \frac{2}{9}$ 就在范围内， $∣ A P ∣^{2}$ 的最小值才是 $\frac{32}{9}$ 。

答案：

$[\frac{17}{2}, 3]$ 。

真题

按这个方法练 · 10 题

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角度、斜率或位置变化：化成一个变量再比较

选一个能描述全部变化的量作参数，写出它的实际范围，把目标化成这个变量的式子。比较内部的极值点和区间端点，最后写出让答案成立的具体图形。

完整讲解 · 例题 · 可练 15 题

一、是什么

记号

向量可以写成坐标 $a = (x_{1}, y_{1})$ ，模（长度） $∣ a ∣ = x_{1}^{2} + y_{1}^{2}$ 。数量积 $a \cdot b = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$ ，也等于 $∣ a ∣∣ b ∣ cos θ$ ， $θ$ 是两向量的夹角，范围是 $0^{\circ}$ 到 $18 0^{\circ}$ 。特别地 $a \cdot a = ∣ a ∣^{2}$ ；两个非零向量垂直等价于数量积为 $0$ 。余弦：半径为 $1$ 的圆上，从 $(1, 0)$ 逆时针转角 $θ$ ，落点的横坐标叫 $cos θ$ ，所以 $- 1 \leq cos θ \leq 1$ 。常用值： $cos 0^{\circ} = 1$ ， $cos 9 0^{\circ} = 0$ ， $cos 18 0^{\circ} = - 1$ ； $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ ，因为边长为 $1$ 的等边三角形作高，底边被分成两半， $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ 。

选参数，写范围

点在线段上：用坐标或比例 $t \in [0, 1]$ 。点在单位圆上：用 $(cos θ, sin θ)$ ， $θ$ 是转过的角。直线过定点：用斜率 $k$ ，但竖直的直线没有斜率，要单独看。边上的点走到端点时， $t$ 就取到端点。范围要从图形读出来，不能自动当成全体实数。

二次式：配方看顶点和端点

$f (t) = a (t - p)^{2} + q$ ， $a > 0$ ， $t$ 在闭区间 $[m, n]$ 内。 $(t - p)^{2}$ 随 $t$ 到 $p$ 的距离增大而增大，所以： $p$ 在区间内时，最小值是 $q$ ，在 $t = p$ 取到； $p$ 在区间外时，最小值在离 $p$ 最近的端点取到。最大值总在离 $p$ 最远的端点取到。 $a < 0$ 时最大值和最小值的位置互换。如果区间不含某个端点，这个端点的值取不到，要单独判断： $t \in (0, 1)$ 时 $(t - 2)^{2}$ 只能接近 $1$ ，没有最小值。在顶点一侧，中间的值都能取到： $a > 0, y \geq q$ 时， $t = p \pm \frac{y - q}{a}$ 正好让 $f (t) = y$ 。

先看一道例题

例 1：顶点在范围内

$B (4, 0), C (1, 3)$ ， $P$ 在线段 $OB$ 上运动， $O$ 是原点。求 $PB \cdot PC$ 的取值范围。

怎么看出来：

$P$ 只有一个自由度，设 $P = (t, 0)$ ，目标是 $t$ 的二次式。

解：

设 $P = (t, 0)$ ， $0 \leq t \leq 4$ 。 $PB = (4 - t, 0)$ ， $PC = (1 - t, 3)$ ，数量积 $f (t) = (4 - t) (1 - t) = t^{2} - 5 t + 4 = (t - \frac{5}{2})^{2} - \frac{9}{4}$ 。顶点 $t = \frac{5}{2}$ 在 $[0, 4]$ 内，最小值是 $- \frac{9}{4}$ 。比较两端： $f (0) = 4$ ， $f (4) = 0$ ，最大值是 $4$ 。 $- \frac{9}{4} \leq y \leq 4$ 时，取 $t = \frac{5}{2} - y + \frac{9}{4}$ ，它在 $[0, \frac{5}{2}]$ 内且 $f (t) = y$ ，所以中间的值都能取到。

答案：

$[- \frac{9}{4}, 4]$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
点在线段或一条边上运动	设坐标或比例 $t$ ，写出 $t$ 的范围，化成二次式
顶点不在 $t$ 的范围里	函数在范围内单调，最值在端点
过定点的直线，要它与坐标轴围成的面积最小	设斜率，注意符号和竖直的情形（见进阶“斜率与开区间”）
点在单位圆上，或长度由角决定	设角，化成一个三角值的二次式（见进阶“角度参数”）
几个变量都能变，且对每个变量是一次的，或对某个变量是二次的	固定其余变量只看一个：一次函数的最值在端点；开口向上的二次取顶点或端点；开口向下的二次最小值在端点（见进阶“多个变量”）

三、怎么用

选参数。例如长度为 $1$ 的线段被分成两段，求两段乘积的范围。设一段长 $t$ ，另一段长 $1 - t$ 。
写范围。分点在线段上， $0 \leq t \leq 1$ 。
化成一个变量的式子并配方。 $f (t) = t (1 - t) = - (t - \frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{4}$ 。
比较顶点和端点。顶点 $t = \frac{1}{2}$ 在范围内， $f = \frac{1}{4}$ ；端点 $t = 0, 1$ 时 $f = 0$ 。所以范围是 $[0, \frac{1}{4}]$ 。
写出对应的图形。最大时分点是中点；最小时分点在端点。

四、再做一道

例 2：顶点在范围外

$A (0, 0), B (2, 0), C (0, 2)$ 。 $P$ 在线段 $BC$ 上，从 $BC$ 的中点走到 $C$ 。求 $P A \cdot PB$ 的取值范围。

怎么看出来：

$P$ 只在半条线段上， $t$ 的范围变了，顶点可能跑到范围外面。

解：

设 $P = B + t (C - B) = (2 - 2 t, 2 t)$ 。中点对应 $t = \frac{1}{2}$ ， $C$ 对应 $t = 1$ ，所以 $\frac{1}{2} \leq t \leq 1$ 。 $P A = (2 t - 2, - 2 t)$ ， $PB = (2 t, - 2 t)$ ，数量积 $f (t) = 2 t (2 t - 2) + 4 t^{2} = 8 t^{2} - 4 t = 8 (t - \frac{1}{4})^{2} - \frac{1}{2}$ 。顶点 $t = \frac{1}{4}$ 不在范围内，在 $[\frac{1}{2}, 1]$ 上 $t$ 越大离顶点越远， $f$ 递增。所以最小值是 $f (\frac{1}{2}) = 0$ ，最大值是 $f (1) = 4$ 。 $0 \leq y \leq 4$ 时，取 $t = \frac{1}{4} + \frac{y + \frac{1}{2}}{8}$ ，它在 $[\frac{1}{2}, 1]$ 内且 $f (t) = y$ 。验算： $P = C$ 时 $(0, - 2) \cdot (2, - 2) = 4$ ； $P = (1, 1)$ 时 $(- 1, - 1) \cdot (1, - 1) = 0$ 。

答案：

$[0, 4]$ 。

五、容易错在哪

把正的参数当成全体实数，式子的符号和不等式都可能错。
只算顶点，不比较端点。闭区间上要把端点值都算出来比较。
区间不闭时，端点的值可能取不到，不能说它是最大值或最小值。
用斜率时漏掉竖直的直线，它没有斜率，要单独判断。
平方之后得到的解要代回原式，查符号。

进阶：斜率与开区间

区间不闭时，端点值可能取不到

$t \in (0, 1)$ 不含端点。 $f (t) = t$ 在这个范围内只能接近 $1$ ，取不到，没有最大值。这时要写清楚：值域是开区间，或者说明没有最大值。

正量的和：倒数成对

$x > 0$ 时， $x + \frac{4}{x} - 4 = \frac{( x - 2 ) ^{2}}{x} \geq 0$ ，所以 $x + \frac{4}{x} \geq 4$ ， $x = 2$ 时取等号。写这个式子要先确认 $x > 0$ ： $x = - 2$ 时左边是 $- 4$ 。

例 3：斜率参数，范围不闭

过点 $(1, 2)$ 的直线与 $x$ 轴、 $y$ 轴的正半轴分别交于 $A, B$ ， $O$ 是原点。求 $△ O A B$ 面积的最小值，并说明有没有最大值。

怎么看出来：

直线由斜率决定。交点在正半轴，要求斜率为负，所以参数只能取负数。

解：

竖直线 $x = 1$ 和水平线 $y = 2$ 都只与一条坐标轴相交，不符合。设斜率 $k$ ，直线为 $y - 2 = k (x - 1)$ 。令 $y = 0$ 得 $x = 1 - \frac{2}{k}$ ，令 $x = 0$ 得 $y = 2 - k$ 。两者都要为正。 $k > 0$ 时， $2 - k > 0$ 要求 $k < 2$ ，此时 $1 - \frac{2}{k} < 0$ ，不行； $k = 0$ 是水平线。所以 $k < 0$ ，这时两个截距都为正。设 $m = - k > 0$ ，面积 $S = \frac{1}{2} (1 + \frac{2}{m}) (2 + m) = \frac{1}{2} (4 + m + \frac{4}{m})$ 。由 $m + \frac{4}{m} \geq 4$ （ $m > 0$ ）， $S \geq 4$ ， $m = 2$ 时取等号，此时直线过 $(2, 0), (0, 4)$ 。又 $S > \frac{m}{2}$ ，而 $m$ 可以任意大，所以 $S$ 没有上限，没有最大值。

答案：

最小值是 $4$ ，没有最大值。

进阶：角度参数 · 先修：三角函数和倍角公式

三角式换成一个函数值

$cos 2 θ = 1 - 2 sin^{2} θ$ ，所以 $cos 2 θ$ 和 $sin θ$ 混合的式子，能写成 $s = sin θ$ 的二次式， $s$ 的范围由 $θ$ 的范围确定。 $θ \in [0, \frac{π}{2}]$ 时 $s \in [0, 1]$ 。 $θ \in [0, π]$ 时也是 $s \in [0, 1]$ 。注意是 $s$ 的范围，不是 $θ$ 的范围。

例 4：角度参数

$a = (cos θ, sin θ)$ ， $b = (cos θ, 2 - sin θ)$ ， $θ \in [0, \frac{π}{2}]$ 。求 $a \cdot b$ 的取值范围。

怎么看出来：

展开后有 $cos^{2} θ - sin^{2} θ = cos 2 θ$ ，都能化成 $sin θ$ 。

解：

$a \cdot b = cos^{2} θ + 2 sin θ - sin^{2} θ$ 。设 $s = sin θ$ ， $s \in [0, 1]$ 。由 $cos^{2} θ = 1 - s^{2}$ ，式子变为 $f (s) = 1 - 2 s^{2} + 2 s = - 2 (s - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{2}$ 。顶点 $s = \frac{1}{2}$ 在范围内，对应 $θ = \frac{π}{6}$ ，最大值是 $\frac{3}{2}$ 。端点 $f (0) = f (1) = 1$ ，最小值是 $1$ ，对应 $θ = 0$ 和 $θ = \frac{π}{2}$ 。

答案：

$[1, \frac{3}{2}]$ 。

进阶：多个变量 · 先修：三角函数

多个变量：逐个固定

先把其他变量看成常数，只动一个。这个变量在闭区间内时，若目标是它的一次函数，最大、最小值都在这个变量的端点；若是开口向下的二次函数，最小值在端点。开口向上的二次函数，可以先取顶点，少一个变量。没有这些结构时不能推到边界： $- (x - \frac{1}{2})^{2} - (y - \frac{1}{2})^{2}$ 的最大值就在内部。若固定其余角后，一个因子最大时才能放大，如 $cos \frac{A - B}{2} \leq 1$ ，就先令 $A = B$ ，变量减少一个。推到边界或相等之后，还要写出能实现的图形。

单位向量两两夹角不超过 90 度

平面单位向量两两的数量积非负，就是两两夹角不超过 $9 0^{\circ}$ 。把夹角最大的两个向量当作边界，其余都夹在它们中间，所以可以转动坐标，让所有向量都在第一象限的 $θ \in [0, \frac{π}{2}]$ 内。固定其余向量，其和记作 $(x, y)$ ， $x, y \geq 0$ ，只动一个单位向量 $e$ 。则 $∣ (x, y) + e ∣^{2} = x^{2} + y^{2} + 1 + 2 (x cos θ + y sin θ)$ 。设 $x \leq y$ 时， $x cos θ + y sin θ \geq x (cos θ + sin θ) \geq x$ ； $x > y$ 时同样大于等于 $y$ ，而 $θ = 0$ 和 $θ = \frac{π}{2}$ 的值正是 $x$ 和 $y$ 。所以求和的长度最小时，每个向量都可以推到两个边界方向之一，剩下的只是分配个数。

例 5：先取一个变量的最优值

实数 $x, y$ 满足什么条件时 $x^{2} + x y + y^{2} - 3 y$ 最小？求最小值。

怎么看出来：

固定 $y$ ，这是 $x$ 的开口向上的二次式，先取顶点，变量就只剩 $y$ 。

解：

固定 $y$ 配方： $x^{2} + x y + y^{2} - 3 y = (x + \frac{y}{2})^{2} + \frac{3}{4} y^{2} - 3 y$ 。第一项在 $x = - \frac{y}{2}$ 时最小，等于 $0$ 。再看 $\frac{3}{4} y^{2} - 3 y = \frac{3}{4} (y - 2)^{2} - 3$ ，在 $y = 2$ 时最小，等于 $- 3$ 。两个条件能同时满足： $y = 2, x = - 1$ 。检查： $1 - 2 + 4 - 6 = - 3$ 。

答案：

$x = - 1, y = 2$ 时最小，最小值是 $- 3$ 。

例 6：每个变量是一次的

$x, y \in [0, 1]$ ，求 $f = 2 x + 3 y - 4 x y$ 的最大值和最小值。

怎么看出来：

固定 $y$ 时， $f$ 是 $x$ 的一次函数；固定 $x$ 时，是 $y$ 的一次函数。一次函数的最值在端点。

解：

固定 $y$ ， $f = (2 - 4 y) x + 3 y$ 是 $x$ 的一次函数（或常数），在 $[0, 1]$ 上最大、最小值都在 $x = 0$ 或 $x = 1$ 。所以只需看这两条边。 $x = 0$ 时 $f = 3 y$ ，范围是 $[0, 3]$ 。 $x = 1$ 时 $f = 2 - y$ ，范围是 $[1, 2]$ 。合并，最大值是 $3$ ，在 $(0, 1)$ 取到；最小值是 $0$ ，在 $(0, 0)$ 取到。检查内部的一点： $x = y = \frac{1}{2}$ 时 $f = 1 + \frac{3}{2} - 1 = \frac{3}{2}$ ，在范围内。

答案：

最大值 $3$ ，最小值 $0$ 。

真题

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向量长度的最值：先给界，再写出等号何时成立

用不等式给出长度的上界或下界之后，还要写出等号成立的方向或比例，并代回全部条件。等号确实能成立，这个界才是最大值或最小值。

完整讲解 · 例题 · 可练 25 题

一、是什么

记号

向量可以写成坐标 $a = (x_{1}, y_{1})$ ，模（长度） $∣ a ∣ = x_{1}^{2} + y_{1}^{2}$ 。数量积 $a \cdot b = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$ ，也等于 $∣ a ∣∣ b ∣ cos θ$ ， $θ$ 是两向量的夹角，范围是 $0^{\circ}$ 到 $18 0^{\circ}$ 。特别地 $a \cdot a = ∣ a ∣^{2}$ ；两个非零向量垂直等价于数量积为 $0$ 。由此 $∣ a \pm b ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} \pm 2 a \cdot b$ 。余弦：半径为 $1$ 的圆上，从 $(1, 0)$ 逆时针转角 $θ$ ，落点的横坐标叫 $cos θ$ ，所以 $- 1 \leq cos θ \leq 1$ 。常用值： $cos 0^{\circ} = 1$ ， $cos 9 0^{\circ} = 0$ ， $cos 18 0^{\circ} = - 1$ ； $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ ，因为边长为 $1$ 的等边三角形作高，底边被分成两半， $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ 。

三角不等式：绕路不会更短

把 $a, b$ 首尾相接， $a + b$ 是直走，所以 $∣ a + b ∣ \leq ∣ a ∣ + ∣ b ∣$ ，等号在两向量同向（或其中有零向量）时成立。把 $a = (a + b) + (- b)$ 代入同一个不等式，移项得 $∣ a ∣ - ∣ b ∣ \leq ∣ a + b ∣$ ；对调 $a, b$ 也成立，合起来是 $∣ a ∣ - ∣ b ∣ \leq ∣ a + b ∣$ ，等号在两向量反向（或其中有零向量）时成立。验算： $a = (3, 0), b = (0, 4)$ 时 $∣ a + b ∣ = 5$ ，确实有 $1 \leq 5 \leq 7$ 。

数量积不超过模的乘积

设 $a = (a, b), v = (x, y)$ 。展开可得 $(a^{2} + b^{2}) (x^{2} + y^{2}) - (a x + b y)^{2} = (a y - b x)^{2} \geq 0$ ，所以 $(a x + b y)^{2} \leq (a^{2} + b^{2}) (x^{2} + y^{2})$ ，开方得 $∣ a \cdot v ∣ \leq ∣ a ∣∣ v ∣$ ，这叫柯西不等式。等号在 $a y - b x = 0$ 时成立，也就是两向量成比例（包括有零向量）。两个向量都非零时，数量积为正是同向， $a \cdot v = ∣ a ∣∣ v ∣$ ；数量积为负是反向， $a \cdot v = - ∣ a ∣∣ v ∣$ 。验算： $(3, 4), (1, 1)$ ： $25 \cdot 2 - 49 = 1 = (3 - 4)^{2}$ 。

界不等于最值

说明“ $f \leq M$ ”只给出上界。最大值是 $M$ ，还要找到一组满足全部条件的量，让 $f = M$ 。如果等号需要的条件和题目矛盾， $M$ 就不是最大值，要换方法继续收紧。

先看一道例题

例 1：由和、差的上限求长度的最大值

向量 $a, b$ 满足 $∣ a + b ∣ \leq 3$ ， $∣ a - b ∣ \leq 1$ ，求 $∣ a ∣$ 的最大值。

怎么看出来：

$a$ 可以由 $a + b$ 和 $a - b$ 组合出来，再用三角不等式放大。

解：

$a = \frac{1}{2} [(a + b) + (a - b)]$ 。由三角不等式， $∣ a ∣ \leq \frac{1}{2} (∣ a + b ∣ + ∣ a - b ∣) \leq \frac{1}{2} (3 + 1) = 2$ 。等号要求 $a + b$ 与 $a - b$ 同向，且长度分别是 $3$ 和 $1$ 。于是 $a + b = (3, 0)$ ， $a - b = (1, 0)$ ，解得 $a = (2, 0), b = (1, 0)$ 。检查： $∣ a + b ∣ = 3$ ， $∣ a - b ∣ = 1$ ， $∣ a ∣ = 2$ ，全部条件都满足。

答案：

$2$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
给 $∣ a + b ∣, ∣ a - b ∣$ 的范围，问 $∣ a ∣$	把 $a$ 写成和与差的组合，用三角不等式，再找等号
一次式等于常数，问平方和的最小值	一次式写成数量积，用 $∣ a \cdot v ∣ \leq ∣ a ∣∣ v ∣$
分别放缩后，两个等号要求互相矛盾	换成能同时取等的不等式（见进阶“等号冲突”）
$x^{2} + k y^{2}$ 形式的条件（ $k > 0$ ， $k \neq = 1$ ）	先把坐标缩放成普通的模（见进阶“缩放坐标”）
目标整理后出现 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ 这样的正量	用 $t + \frac{1}{t} \geq 2$ （见进阶“正数的和与倒数”）
动点在多边形内，求到几个定点的距离和的最大值	距离和在线段上的最大值在端点，推到顶点（见进阶“区域内的距离和”）

三、怎么用

把条件写成向量。例如 $x + y = 2$ ，求 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值。设 $a = (1, 1), v = (x, y)$ ，条件是 $a \cdot v = 2$ ，目标是 $∣ v ∣^{2}$ 。
选不等式给界。 $2 = a \cdot v \leq ∣ a ∣∣ v ∣ = 2 ∣ v ∣$ ，所以 $∣ v ∣ \geq 2$ ， $x^{2} + y^{2} \geq 2$ 。
写出等号条件。 $v$ 和 $a$ 同向，即 $x = y > 0$ 。
代回全部条件。 $x = y$ 且 $x + y = 2$ 得 $x = y = 1$ ，此时 $x^{2} + y^{2} = 2$ 。所以最小值是 $2$ 。

四、再做一道

例 2：一次条件，求平方和最小

实数 $x, y$ 满足 $3 x + 4 y = 10$ ，求 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值，并写出此时的 $x, y$ 。

怎么看出来：

$3 x + 4 y$ 是 $(3, 4)$ 和 $(x, y)$ 的数量积，目标是 $(x, y)$ 的模的平方。

解：

设 $a = (3, 4), v = (x, y)$ ，则 $∣ a ∣ = 5$ 。 $10 = a \cdot v \leq 5∣ v ∣$ ，所以 $∣ v ∣ \geq 2$ ， $x^{2} + y^{2} \geq 4$ 。等号要求 $v$ 与 $a$ 同向，设 $v = λ (3, 4)$ ， $λ > 0$ 。代入条件： $9 λ + 16 λ = 10$ ， $λ = \frac{2}{5}$ ，所以 $x = \frac{6}{5}, y = \frac{8}{5}$ 。检查： $3 \cdot \frac{6}{5} + 4 \cdot \frac{8}{5} = \frac{18 + 32}{5} = 10$ ， $x^{2} + y^{2} = \frac{36 + 64}{25} = 4$ 。

答案：

最小值是 $4$ ，此时 $x = \frac{6}{5}, y = \frac{8}{5}$ 。

五、容易错在哪

得到上界或下界后没有找到等号成立的情形，就把它当成最值。
连用不等式时，每一步的等号条件都要写出来，放在一起看是否矛盾。
$∣ a \cdot b ∣ \leq ∣ a ∣∣ b ∣$ 的等号要求共线；不带绝对值的 $a \cdot b = ∣ a ∣∣ b ∣$ 要求同向或有零向量，方向要写对。
把 $x^{2} + k y^{2} = 1$ （ $k \neq = 1$ ）当作单位圆，答案会错。
$t + \frac{1}{t} \geq 2$ 只对正数 $t$ 成立，用之前先确认符号。

进阶：等号冲突

连用不等式时等号可能冲突

用两次不等式时，只有两个等号能同时成立，最后的等号才能成立。任意实数还有 $(x + y)^{2} \leq 2 (x^{2} + y^{2})$ ，它来自 $(x - y)^{2} \geq 0$ ，等号在 $x = y$ 时成立。向量还有恒等式 $∣ a + b ∣^{2} + ∣ a - b ∣^{2} = 2∣ a ∣^{2} + 2∣ b ∣^{2}$ ，把两边按平方展开就能验证。

例 3：两个等号冲突，换一个不等式

正数 $x, y$ 满足 $x + y = 1$ ，求 $(x + \frac{1}{x}) + (y + \frac{1}{y})$ 的最小值。

怎么看出来：

分别用 $t + \frac{1}{t} \geq 2$ 得到 $4$ ，但等号要 $x = 1$ 且 $y = 1$ ，与 $x + y = 1$ 矛盾，所以 $4$ 取不到。

解：

先合并： $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x + y}{x y} = \frac{1}{x y}$ ，所以原式 $= 1 + \frac{1}{x y}$ 。由 $(x - y)^{2} \geq 0$ 得 $4 x y \leq (x + y)^{2} = 1$ ，所以 $0 < x y \leq \frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{x y} \geq 4$ ，原式 $\geq 5$ 。等号要求 $x = y$ ，与 $x + y = 1$ 一起得 $x = y = \frac{1}{2}$ 。检查： $\frac{1}{2} + 2 + \frac{1}{2} + 2 = 5$ 。

答案：

$5$ 。

进阶：缩放坐标

带系数的平方和：先缩放

$x^{2} + 4 y^{2}$ 不是 $(x, y)$ 的模的平方，而是 $(x, 2 y)$ 的模的平方。所以先设 $u = (x, 2 y)$ ，再把目标写成 $u$ 和某个固定向量的数量积。方程 $x^{2} + 4 y^{2} = 1$ 的图形是椭圆，不是圆，不能直接把 $(x, y)$ 当成单位向量。

例 4：先缩放，再用数量积

实数 $x, y$ 满足 $x^{2} + 4 y^{2} = 1$ ，求 $x + y$ 的最大值。

怎么看出来：

条件带系数 $4$ ， $(x, y)$ 不是单位向量， $(x, 2 y)$ 才是。

解：

设 $u = (x, 2 y)$ ，则 $∣ u ∣ = 1$ 。 $x + y = 1 \cdot x + \frac{1}{2} \cdot 2 y = u \cdot w$ ，其中 $w = (1, \frac{1}{2})$ ， $∣ w ∣ = \frac{5}{2}$ 。所以 $x + y \leq ∣ u ∣∣ w ∣ = \frac{5}{2}$ 。等号要求 $u$ 与 $w$ 同向， $u = \frac{w}{∣ w ∣} = (\frac{2}{5}, \frac{1}{5})$ ，即 $x = \frac{2}{5}, y = \frac{1}{2 5}$ 。检查： $x^{2} + 4 y^{2} = \frac{4}{5} + \frac{1}{5} = 1$ ， $x + y = \frac{5}{2 5} = \frac{5}{2}$ 。

答案：

$\frac{5}{2}$ 。

进阶：正数的和与倒数

正数和它的倒数

$x, y \geq 0$ 时 $x + y \geq 2 x y$ ，因为 $(x - y)^{2} \geq 0$ ，等号在 $x = y$ 时成立。特别地， $t > 0$ 时 $t + \frac{1}{t} \geq 2$ ， $t = 1$ 时取等号。这要求 $t$ 是正数： $t = - 1$ 时左边是 $- 2$ 。

例 5：两个不等式的等号相容

非零向量 $a, b$ 满足 $a \cdot b > 0$ ，求 $\frac{∣ a + b ∣ ^{2}}{a \cdot b}$ 的最小值。

怎么看出来：

展开后是 $\frac{∣ a ∣ ^{2} + ∣ b ∣ ^{2}}{a \cdot b} + 2$ ，分子能和模的比联系起来。

解：

展开得 $\frac{∣ a + b ∣ ^{2}}{a \cdot b} = \frac{∣ a ∣ ^{2} + ∣ b ∣ ^{2}}{a \cdot b} + 2$ 。因为 $0 < a \cdot b \leq ∣ a ∣∣ b ∣$ ，且分子为正，分母放大后分数变小，所以 $\frac{∣ a ∣ ^{2} + ∣ b ∣ ^{2}}{a \cdot b} \geq \frac{∣ a ∣ ^{2} + ∣ b ∣ ^{2}}{∣ a ∣∣ b ∣}$ 。设 $t = \frac{∣ a ∣}{∣ b ∣} > 0$ ，右边是 $t + \frac{1}{t} \geq 2$ 。所以原式 $\geq 4$ 。第一个等号要同向，第二个等号要等长，两者可以同时成立：取 $a = b$ ，原式 $= \frac{4∣ a ∣ ^{2}}{∣ a ∣ ^{2}} = 4$ 。

答案：

$4$ 。

进阶：区域内的距离和

多边形内的距离和

设 $P = (1 - t) Q + tR$ ， $0 \leq t \leq 1$ ， $P$ 在线段 $QR$ 上。对定点 $A$ ， $A P = (1 - t) A Q + t A R$ ，由三角不等式 $∣ A P ∣ \leq (1 - t) ∣ A Q ∣ + t ∣ A R ∣$ 。把几个定点的不等式相加，距离和 $f$ 满足 $f (P) \leq (1 - t) f (Q) + t f (R)$ ，不超过 $f (Q), f (R)$ 中较大的那个。所以线段上的最大值在端点。凸多边形内任一点都在两个边界点的连线上，边界点又在边上，因此最大值在顶点取到，逐个顶点比较。验算： $A (2, 3), Q (0, 0), R (4, 0)$ ，中点到 $A$ 的距离 $3$ ，端点的距离 $13$ 。这只说明最大值；最小值不一定在顶点。

真题

按这个方法练 · 25 题

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向量夹角是锐角或钝角：先看数量积的正负，再排除共线

两个非零向量的夹角是锐角，要数量积大于 $0$ 且方向不相同；夹角是钝角，要数量积小于 $0$ 且方向不相反。只看数量积的正负不够，因为同向时夹角是 $0^{\circ}$ ，反向时夹角是 $18 0^{\circ}$ 。

完整讲解 · 例题 · 可练 7 题

一、是什么

数量积的正负说明夹角的类型

向量 $a = (x_{1}, y_{1})$ 、 $b = (x_{2}, y_{2})$ 的数量积是 $a \cdot b = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$ 。两个向量从同一点出发，所成的角叫夹角，范围是 $0^{\circ}$ 到 $18 0^{\circ}$ 。向量的模（长度）是 $∣ a ∣ = x_{1}^{2} + y_{1}^{2}$ 。把坐标展开可得 $∣ a - b ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} - 2 a \cdot b$ ，这里 $∣ a - b ∣$ 是两个向量终点的距离。夹角是直角时，由勾股定理，第三边的平方等于两边平方和，所以 $a \cdot b = 0$ 。夹角张开超过直角，第三边更长，所以 $a \cdot b < 0$ ；夹角小于直角，第三边更短，所以 $a \cdot b > 0$ 。例如 $(2, 1) \cdot (- 1, 2) = 0$ ，这两个向量垂直。这些判断都要求两个向量非零，零向量没有方向，谈不上夹角。

为什么还要排除共线

$(1, 2)$ 和 $(2, 4)$ 的数量积是 $10 > 0$ ，但它们同向，夹角是 $0^{\circ}$ ，不是锐角。 $(1, 2)$ 和 $(- 2, - 4)$ 的数量积是 $- 10 < 0$ ，但它们反向，夹角是 $18 0^{\circ}$ ，不是钝角。两个非零向量共线，就是 $b = λ a$ ，其中 $λ > 0$ 时同向， $λ < 0$ 时反向。用坐标判断：共线等价于 $x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0$ 。理由是把 $x_{2} = λ x_{1}, y_{2} = λ y_{1}$ 代入，这个式子等于 $0$ ；反过来，若它等于 $0$ 且 $x_{1} \neq = 0$ ，令 $λ = \frac{x _{2}}{x _{1}}$ ，就得 $y_{2} = λ y_{1}$ （ $x_{1} = 0$ 时 $y_{1} \neq = 0$ ，改用 $λ = \frac{y _{2}}{y _{1}}$ ）。

三角形的角：两个向量要从同一顶点出发

$∠ A$ 是 $A B$ 与 $A C$ 的夹角，都从 $A$ 出发。题目若写 $A B \cdot C A$ ，因为 $C A = - A C$ ，所以它等于 $- A B \cdot A C$ ，符号要反过来。例如 $A (0, 0), B (1, 0), C (- 1, 2)$ ： $A B \cdot C A = (1, 0) \cdot (1, - 2) = 1 > 0$ ，而 $A B \cdot A C = - 1 < 0$ ，所以 $∠ A$ 是钝角。 $3$ 个点还要不共线，才是三角形。

先看一道例题

例 1：动点在直线上时的钝角

已知 $A (- 1, 0)$ ， $B (4, 0)$ ，点 $C (m, m - 1)$ 。当 $A, B, C$ 构成三角形且 $∠ A CB$ 是钝角时，求 $m$ 的取值范围。

怎么看出来：

$∠ A CB$ 的顶点是 $C$ ，所以写 $C A, CB$ 。钝角要数量积小于 $0$ ，还要三点不共线。

解：

$C A = (- 1 - m, 1 - m)$ ， $CB = (4 - m, 1 - m)$ 。两个向量都非零： $C A = 0$ 要同时有 $m = - 1$ 和 $m = 1$ ，不可能； $CB = 0$ 要同时有 $m = 4$ 和 $m = 1$ ，也不可能。数量积是 $(- 1 - m) (4 - m) + (1 - m)^{2} = (m^{2} - 3 m - 4) + (m^{2} - 2 m + 1) = 2 m^{2} - 5 m - 3 = (2 m + 1) (m - 3)$ 。令它小于 $0$ ，两个因子异号，得 $- \frac{1}{2} < m < 3$ 。再看共线： $(- 1 - m) (1 - m) - (4 - m) (1 - m) = (1 - m) (- 5)$ ，只有 $m = 1$ 时为 $0$ 。此时 $C (1, 0)$ 在线段 $A B$ 上， $C A = (- 2, 0)$ 与 $CB = (3, 0)$ 反向，不是三角形，要去掉。检查： $m = 3$ 时 $C (3, 2)$ ，数量积 $(- 4) \cdot 1 + (- 2) (- 2) = 0$ ，是直角，端点确实不能取。

答案：

$- \frac{1}{2} < m < 3$ 且 $m \neq = 1$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
要求两个向量夹角是锐角或钝角，向量里含参数	列数量积不等式，再用 $x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0$ 找共线的情形，看同向还是反向
三角形的某个角是钝角，或问钝角三角形	从该顶点出发写两条边向量， $3$ 个角逐个判断
$A B \cdot BC$ 这样首尾相接的数量积	先把一个向量反向，变成从同一顶点出发，符号跟着变
已知模、夹角，向量写成 $x a + y b$	展开数量积，共线用系数判断（见进阶“模与夹角形式”）
单位向量的数量积等于一个取整式，如 $a \cdot b = [\dots]$	取整的结果是整数，所以数量积只能取 $- 1, 0, 1$ ，逐种代回（见进阶“取整与整数量积”）
若干方向，问必有两个夹角较小，或最多有几个两两成钝角	按方向排序，看相邻间隙之和（见进阶“方向排序与间隙”）

三、怎么用

确认两个向量非零，写出要判断的夹角。例如判断 $a = (1, - 2)$ 与 $b = (- 2, 4)$ 的夹角是不是钝角，它们的分量不全为 $0$ ，都是非零向量。
算数量积，看正负。 $a \cdot b = - 2 - 8 = - 10 < 0$ ，夹角超过 $9 0^{\circ}$ 或等于 $18 0^{\circ}$ 。
算 $x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}$ ，判断是否共线。 $1 \cdot 4 - (- 2) (- 2) = 0$ ，所以共线。
共线时判断同向还是反向，并下结论。 $b = - 2 a$ ，反向，夹角是 $18 0^{\circ}$ ，不是钝角。
换一个向量比较。 $c = (3, 1)$ 时 $a \cdot c = 3 - 2 = 1 > 0$ ， $1 \cdot 1 - 3 (- 2) = 7 \neq = 0$ ，不共线，所以 $a, c$ 的夹角是锐角。

四、再做一道

例 2： $3$ 个角逐个判断

已知 $A (0, 0)$ ， $B (2, 0)$ ， $C (t, 1)$ 。当 $△ A BC$ 是钝角三角形时，求 $t$ 的取值范围。

怎么看出来：

题目没说哪个角是钝角，所以 $3$ 个角都要试。 $C$ 的纵坐标是 $1$ ，不在 $x$ 轴上，三点不共线，不用再排除共线。

解：

$∠ A$ ： $A B \cdot A C = (2, 0) \cdot (t, 1) = 2 t$ ， $2 t < 0$ 得 $t < 0$ 。 $∠ B$ ： $B A \cdot BC = (- 2, 0) \cdot (t - 2, 1) = - 2 (t - 2)$ ， $- 2 (t - 2) < 0$ 得 $t > 2$ 。 $∠ C$ ： $C A \cdot CB = (- t, - 1) \cdot (2 - t, - 1) = - t (2 - t) + 1 = t^{2} - 2 t + 1 = (t - 1)^{2}$ 。它不可能小于 $0$ ，所以 $∠ C$ 不会是钝角； $t = 1$ 时 $∠ C$ 是直角。只要有一个角是钝角，三角形就是钝角三角形，所以合并前两种情况。检查： $t = - 1$ 时 $A B \cdot A C = - 2 < 0$ ； $t = \frac{1}{2}$ 时 $3$ 个数量积依次是 $1, 3, \frac{1}{4}$ ，都大于 $0$ ，是锐角三角形，确实不在答案内。

答案：

$t < 0$ 或 $t > 2$ 。

五、容易错在哪

数量积大于 $0$ 时夹角可能是 $0^{\circ}$ ，数量积小于 $0$ 时夹角可能是 $18 0^{\circ}$ 。求锐角或钝角时要单独去掉同向或反向的值。
两个非零向量的数量积等于 $0$ 时夹角是直角，不属于锐角也不属于钝角，所以不等号不能带等号。
判断角之前要确认两个向量都非零。零向量和任何向量的数量积都是 $0$ ，但它没有方向。
只有数量积是整数还不能列成有限几种，要再用模的范围定界。两个单位向量的整数量积只有 $- 1, 0, 1$ ，而不是只有 $0$ 或 $1$ 。
由正弦求余弦时，符号未知就保留两种情况，有符号条件才能筛掉一种。把式子平方后，解出的值要代回原式检查。

进阶：模与夹角形式 · 先修：向量的线性运算，余弦和正弦的特殊角

用模和夹角计算数量积

数量积还等于 $a \cdot b = ∣ a ∣∣ b ∣ cos θ$ ，其中 $θ$ 是夹角。在 $0^{\circ}$ 到 $18 0^{\circ}$ 上，余弦从 $1$ 一直减小到 $- 1$ ，常用值是 $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ ， $cos 9 0^{\circ} = 0$ ， $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ 。没有坐标时，按多项式展开： $(x a + y b) \cdot (p a + q b) = x p ∣ a ∣^{2} + (x q + y p) a \cdot b + y q ∣ b ∣^{2}$ 。若 $a, b$ 不共线， $x a + y b$ 与 $p a + q b$ 共线等价于 $x q - y p = 0$ （两个向量都非零时）。已知正弦求余弦时，正负两个值可能都成立：有数量积的符号条件，就用它决定取哪一个；没有符号条件，两种情况都要保留。

例 3：反求基向量的夹角

$∣ a ∣ = 1$ ， $∣ b ∣ = 2$ ， $a, b$ 的夹角 $θ$ 未知。若 $a + b$ 与 $3 a - b$ 的夹角是钝角，求 $cos θ$ 的取值范围。

怎么看出来：

两个组合向量的系数是定的，未知的是 $a \cdot b$ 。先把它设成字母，展开后解不等式，再单独看 $a, b$ 共线的两种情况。

解：

记 $p = a \cdot b = 2 cos θ$ ，则 $- 2 \leq p \leq 2$ 。 $(a + b) \cdot (3 a - b) = 3∣ a ∣^{2} + (- 1 + 3) p - ∣ b ∣^{2} = 3 + 2 p - 4 = 2 p - 1$ 。钝角要求 $2 p - 1 < 0$ ，即 $p < \frac{1}{2}$ 。再查共线。若 $a, b$ 不共线，系数的 $1 \cdot (- 1) - 1 \cdot 3 = - 4 \neq = 0$ ，两个组合向量不共线，也都非零。若 $a, b$ 同向， $p = 2$ ，已不满足 $p < \frac{1}{2}$ 。若 $a, b$ 反向， $p = - 2$ ， $b = - 2 a$ ，此时 $a + b = - a$ ， $3 a - b = 5 a$ ，两者反向，夹角是 $18 0^{\circ}$ ，要去掉。所以 $- 2 < p < \frac{1}{2}$ ，除以 $2$ 得结果。检查：取 $p = 0$ ，数量积是 $- 1 < 0$ ，且两向量不共线，夹角是钝角。

答案：

$- 1 < cos θ < \frac{1}{4}$ 。

例 4：首尾相接的数量积与面积

在 $△ A BC$ 中， $∣ A B ∣ = 2$ ， $∣ BC ∣ = 5$ ， $A B \cdot BC = 6$ 。求 $△ A BC$ 的面积和 $∣ A C ∣$ 。

怎么看出来：

$A B$ 和 $BC$ 首尾相接，不是从同一顶点出发。先改成从 $B$ 出发，数量积变号，说明 $∠ B$ 是钝角。

解：

$B A \cdot BC = - A B \cdot BC = - 6$ 。由 $- 6 = 2 \cdot 5 cos B$ 得 $cos B = - \frac{3}{5}$ 。 $∠ B$ 在 $0^{\circ}$ 到 $18 0^{\circ}$ 之间，正弦为正， $sin B = 1 - \frac{9}{25} = \frac{4}{5}$ 。面积是 $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 5 \cdot \frac{4}{5} = 4$ 。 $A C = BC - B A$ ，所以 $∣ A C ∣^{2} = 25 + 4 - 2 (- 6) = 41$ 。检查：取 $B (0, 0)$ ， $A (2, 0)$ ， $C (- 3, 4)$ ，则 $∣ BC ∣ = 5$ ， $A B \cdot BC = (- 2, 0) \cdot (- 3, 4) = 6$ ，面积是 $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4$ ， $∣ A C ∣^{2} = 25 + 16 = 41$ 。

答案：

面积是 $4$ ， $∣ A C ∣ = 41$ 。

进阶：取整与整数量积 · 先修：取整函数的定义，单位圆上的点

取整条件：先定整数，再回到坐标

$[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，所以 $[x] = n$ 等价于 $n \leq x < n + 1$ ，左端取得到，右端取不到。例如 $[2.3] = 2$ ， $[- 0.5] = - 1$ ， $[1] = 1$ 。如果等式另一边是数量积，等式就说明这个数量积是整数。单位向量（模为 $1$ 的向量）的数量积 $t$ 满足 $- 1 \leq t \leq 1$ ，理由是 $∣ a - b ∣^{2} = 2 - 2 t \geq 0$ ， $∣ a + b ∣^{2} = 2 + 2 t \geq 0$ 。所以 $t$ 只能是 $- 1, 0, 1$ ，而 $t = 1$ 表示同向， $t = - 1$ 表示反向， $t = 0$ 表示垂直。注意只知道非负还不够，有界才能列成有限几种。逐种情况都要代回条件。

例 5：整数量积只有 3 种

单位向量 $a, b$ 满足 $a \cdot b = [\frac{∣ a + b ∣}{2}]$ 。求 $∣ a - b ∣$ 的所有可能值。

怎么看出来：

右边是取整，所以 $a \cdot b$ 是整数。单位向量的数量积又在 $- 1$ 到 $1$ 之间，只有 $3$ 种情况。

解：

记 $t = a \cdot b$ ，则 $t \in {- 1, 0, 1}$ ，且 $∣ a + b ∣ = 2 + 2 t$ 。 $t = 1$ ：两个向量相同，右边 $[\frac{2}{2}] = 1$ ，成立。 $t = 0$ ： $∣ a + b ∣ = 2$ ，右边 $[\frac{2}{2}] = 0$ ，成立。 $t = - 1$ ： $a + b = 0$ ，右边是 $0$ ，而左边是 $- 1$ ，不成立。由 $∣ a - b ∣^{2} = 2 - 2 t$ ， $t = 1$ 时得 $0$ ， $t = 0$ 时得 $2$ 。这两种情况都能实现：取 $a = b$ ，或取 $a ⊥ b$ 。

答案：

$0$ 或 $2$ 。

例 6：取整决定范围的开闭

单位向量 $c = (u, v)$ 满足 $[u] + [v] = - 1$ 。求 $u + v$ 的取值范围。

怎么看出来：

$u, v$ 都在 $- 1$ 到 $1$ 之间，取整值很少，可以列出来。取整等价于左闭右开的区间，端点要逐个查。

解：

$u = 1$ 时 $v = 0$ ， $[u] + [v] = 1$ ，不合； $v = 1$ 时同样不合。所以 $[u], [v]$ 只能取 $- 1$ 或 $0$ ，和为 $- 1$ 只能一个是 $- 1$ 、另一个是 $0$ 。由对称性，先看 $[u] = - 1, [v] = 0$ ，即 $- 1 \leq u < 0$ ， $0 \leq v < 1$ （另一种把 $u, v$ 交换， $u + v$ 不变）。记 $s = u + v$ 。因为 $uv \leq 0$ ， $s^{2} = u^{2} + v^{2} + 2 uv = 1 + 2 uv \leq 1$ ，所以 $- 1 \leq s \leq 1$ 。 $s = 1$ 要求 $uv = 0$ ，而 $u < 0$ ，只能 $v = 0$ ，于是 $u = - 1$ ， $s = - 1$ ，矛盾，所以 $s < 1$ 。再证 $- 1 \leq s < 1$ 的每个值都能取到：令 $u = \frac{s - 2 - s ^{2}}{2}$ ， $v = \frac{s + 2 - s ^{2}}{2}$ ，则 $u + v = s$ ， $u^{2} + v^{2} = \frac{2 s ^{2} + 2 ( 2 - s ^{2} )}{4} = 1$ 。 $s < 1$ 时 $2 - s^{2} > s$ ，所以 $u < 0$ ； $s^{2} \leq 1$ 时 $2 - s^{2} \geq ∣ s ∣$ ，所以 $v \geq 0$ ； $u^{2} + v^{2} = 1$ 且 $u \neq = 0$ 给出 $v < 1$ ，也给出 $u \geq - 1$ 。检查： $s = - 1$ 对应 $(- 1, 0)$ ， $[- 1] + [0] = - 1$ ，成立。

答案：

$- 1 \leq u + v < 1$ 。

进阶：方向排序与间隙 · 先修：方向角

方向排序：用间隙估计夹角

把若干非零向量的方向角（从 $x$ 轴正方向逆时针转到向量所转的角）按大小排在圆周上，相邻两个方向的间隙加起来等于 $36 0^{\circ}$ 。所以 $n$ 个方向中，一定有一个间隙不超过 $\frac{36 0 ^{\circ}}{n}$ 。间隙不超过 $18 0^{\circ}$ 时，它就是这两个向量的夹角。如果所有方向都在一个不含边界的半平面里，就只看半圆内相邻的 $n - 1$ 个间隙，不算首尾之间那一段，它们的和小于 $18 0^{\circ}$ ，所以有一个间隙小于 $\frac{18 0 ^{\circ}}{n - 1}$ 。

真题

按这个方法练 · 7 题

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误区对照

容易误以为

在等边 $△ A BC$ 中，边长为 $2$ ，求 $A B \cdot BC$ ：因三内角均为 $6 0^{\circ}$ ，直接写 $A B \cdot BC = 2 \times 2 cos 6 0^{\circ} = 2$ 。

应当这样想

向量夹角需将两向量平移到同一起点： $A B$ 与 $BC$ 首尾相接，其夹角是 $∠ B$ 的补角 $18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}$ （或写成 $- B A \cdot BC$ ），故 $A B \cdot BC = 2 \times 2 cos 12 0^{\circ} = - 2$ 。

为什么

三角形内角 $∠ B$ 是共起点向量 $B A$ 与 $BC$ 的夹角；首尾相接的 $A B$ 与 $BC$ 方向一进一出，夹角与 $∠ B$ 互补，余弦值正好相反。

容易误以为

已知定点 $A, B$ 满足 $∣ A B ∣ = 4$ ，动点 $P$ 在半径为 $1$ 、圆心 $C$ 到 $A B$ 中点 $M$ 的距离为 $3$ 的圆上运动，求 $P A \cdot PB$ 的最小值：误写极化恒等式为 $P A \cdot PB = ∣ PM ∣^{2} - ∣ A B ∣^{2}$ ，得最小值为 $(3 - 1)^{2} - 16 = - 12$ 。

应当这样想

由中线形式的极化恒等式， $P A \cdot PB = ∣ PM ∣^{2} - \frac{1}{4} ∣ A B ∣^{2} = ∣ PM ∣^{2} - 4$ （减的是半弦长 $∣ A M ∣ = \frac{1}{2} ∣ A B ∣$ 的平方，而非全弦长平方）。因 $∣ PM ∣ \in [3 - 1, 3 + 1] = [2, 4]$ ，故 $P A \cdot PB \in [2^{2} - 4, 4^{2} - 4] = [0, 12]$ ，最小值为 $0$ 。

为什么

将 $P A = PM + M A$ 与 $PB = PM - M A$ 相乘得 $∣ PM ∣^{2} - ∣ M A ∣^{2}$ ，其中 $∣ M A ∣ = \frac{1}{2} ∣ A B ∣$ ，平方后系数必为 $\frac{1}{4}$ 。

容易误以为

在 $△ A BC$ 中， $∣ A B ∣ = 4, ∣ A C ∣ = 6$ ， $O$ 为 $△ A BC$ 的外心，求 $A O \cdot BC$ ：误以为 $O$ 在 $BC$ 上的投影是 $BC$ 中点且 $A O ⊥ BC$ ，直接得 $0$ 。

应当这样想

把 $BC = A C - A B$ 拆成以 $A$ 为起点的两边，利用外心在各边上的投影为该边中点： $A O \cdot A B = \frac{1}{2} ∣ A B ∣^{2} = 8$ ， $A O \cdot A C = \frac{1}{2} ∣ A C ∣^{2} = 18$ ，故 $A O \cdot BC = 18 - 8 = 10$ （只有当 $∣ A B ∣ = ∣ A C ∣$ 时 $A O$ 才垂直于 $BC$ ）。

为什么

外心 $O$ 是三边垂直平分线的交点，故 $MO ⊥ BC$ （ $M$ 为 $BC$ 中点），但 $A O = A M + MO$ 还含中线分量 $A M$ ，其与 $BC$ 的点积等于 $\frac{1}{2} (∣ A C ∣^{2} - ∣ A B ∣^{2})$ 。

概念自测

先想清楚，再确认判断。这些自测只帮助辨清概念，不计入真题做对率。

真题 · 132 道

从易到难排列。圆点表示你在这台设备上的做题情况：绿色做对、黄色部分做对、红色没做出。