2024 年上海预赛

解答

补定义 $a_0=0$。模 $M$ 考察状态

该映射的逆为 $(x,y)\mapsto (y-x,x)$，故在有限集合 $(\mathbb{Z}/M\mathbb{Z}{)}^2$ 上是双射。从状态 $(a_0,a_1)=(0,1)$ 出发的轨道必为纯周期，所以存在正整数 $T$ 使

于是 $a_{T+2}=a_{T+1}+a_T\equiv 1(\mathrm{mod}M)$，从而相邻两项 $a_{T+1},a_{T+2}$ 余数相等。因 $M>1$，周期不可能为 $1$ 或 $2$，故这两项位于 $a_3,a_4,\dots$ 中。