培玉 · 一试
2020 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 8 题
现有10张卡片，每张卡片上写有 中两个不同的数，且任意两张卡片上的数不完全相同。将这10张卡片放入标号为 的五个盒子，规定写有 的卡片只能放在 号或 号盒子中。如果1号盒中的卡片数多于其他每个盒子中的卡片数，称放法为“好的”。求好的放法数。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
思路
完全图是任意两点之间恰有一条边的图；这里五个点表示五个盒子，边表示唯一的那张卡片。指向某点的边数就是该盒收到的卡片数，只是重画计数对象，不增加条件。
想法从哪来：十张卡片各有两个去处，直接列所有放法太散；先只盯着被要求唯一最多的盒子。它至多接收与自己有关的四张卡片；若收到得太少，其他每盒还要更少，按总容量立刻装不下全部卡片。于是只需研究它收到三张或四张的两种情况。 把卡片画成连接两个盒号的一条边，放入哪盒就把边指向哪端。收到四张时剩余小图的边任意；收到三张时先固定漏收哪张，被漏到的盒子已经多出一张，剩余容量便不对称。再按这个盒子在小图中收到零条还是一条边分类，最后只需数一个三角形的定向。每一步都应使用“严格多于”，把并列最多排除。盒子有标号，选漏收对象的因子须保留。
把卡片看成完全图的边，投向哪端就是该端收一张，先固定1号的度数。
解答
1号只与4张卡片相关，最多收4张。若1号收 张，按“好的”要求其余每盒至多 张，五盒合计至多 张，放不下全部10张，矛盾；所以1号必须收3或4张。收4张时，剩余6条边随意投放，有 种。收3张时，先选漏收的邻点有4种，不妨漏5号，5号已有一张。其余四点之间的K4六条边，要求5号再收至多1条、2/3/4各收至多2条。若5号再收0条，则三条通向5号的边均给2/3/4，每人已有1张，内部三角形三边必须每人再收1张，有两个有向循环。若5号再收1条，选该条有3种，不妨来自2号，则2号已有0张，3/4已有1张；内部三角形仅需排除3号收2条或4号收2条，各2种且不交，所以 种。固定漏点共 种，总数 。
复核
这里盒子有标号，卡片不重复，内部边各两种投放；收3张时其他盒恰限制至多2，不能允许并列第一。1号收0、1、2张时，其余各盒至多比1号少1张，合计不足10张，都被排除。
方法总结
图边分配用度数约束先缩小关键顶点状态，再枚举剩余小图。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
把卡片看成完全图的边，投向哪端就是该端收一张，先固定1号的度数。
已记下，谢谢！