2025 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 6 题

解答

任选四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$。四条侧棱两两平行，其方向与底面内的棱均不平行。上下底面的对应棱分别平行。 共有 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{2}\right)=66$ 个等可能的无序棱对。底面相邻边不平行，对边平行的组数只有 $0,1,2$ 三种可能。

当底面无平行对边时，方向组的大小为 $4,2,2,2,2$，故

当底面恰有一组平行对边时，方向组的大小为 $4,4,2,2$，故

当底面为平行四边形时，方向组的大小为 $4,4,4$，故

上述三种底面均可取到，因此所有可能值为 $\boxed{\frac{5}{33},\frac{7}{33},\frac{3}{11}}$。