2023 年江西预赛

提示

先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。

思路

上确界是所有值的最小上界，只有存在合法构型取等才叫最大值。正交投影的面积缩放因子只由平面法向方向决定；斜带面积可用平行截线长度积分。

想法从哪来：不要由正方体对称性就认定正六边形面积最大，先拿接近对角矩形的斜切面试一试，会发现六边形可越来越扁却面积更大。要判断极限能否取到，必须将“六个不同顶点”的严格条件写入参数域。用法向量和位移表示平面，投影到坐标面后，截面变成正方形与斜带的交；固定方向时，对称且向外递减的截线密度说明居中截取最大。再只优化中央截面的方向，角部切去面积可显式计算，给出严格上界。最后以一个小正参数构造始终非退化的六边形趋近上界；参数为零时类型变为矩形，故不能宣称取得最大值。

把任意截面用法向量和位移表示。先从正方形斜带的截取面积证明同方向中央截面最大，再在真正六边形的参数域内给严格上界；最后用仍有六个顶点的截面族检验上界能否达到。

解答

将单位正方体写成 $[- 1/2, 1/2]^{3}$ 。对称变换及坐标置换不改变面积，故可把截平面写成

a x + b y + cz = t, a \geq b \geq c > 0.

真正的六边形必须在六个面上都有非零边，因此三个法向分量均非零，并且

b + c - a > 0, ∣2 t ∣ < b + c - a . (1)

例如，平面分别与 $x = 1/2, x = - 1/2$ 两面的内部相交，就要求 $∣ t - a /2∣ < (b + c) /2$ 、 $∣ t + a /2∣ < (b + c) /2$ ，给出式（1）。

在 $yz$ 平面上的投影区域是

Q_{t} = {(y, z) \in [- 1/2, 1/2]^{2} : t - a /2 \leq b y + cz \leq t + a /2} .

投影面积与截面面积相差固定因子 $a^{2} + b^{2} + c^{2} / a$ 。下面证明固定 $a, b, c$ 时， $∣ Q_{t} ∣ \leq ∣ Q_{0} ∣$ ，不借用未经证明的最大截面定理。

令 $u = b y, v = cz$ 。在长为 $b, c$ 的两个对称区间上，固定和 $u + v = s$ 的截线贡献密度为

w (s) = \frac{1}{b c} ∣ [- b /2, b /2] \cap [s - c /2, s + c /2] ∣ .

直接比较两区间的交长，得到

w (s) = ⎩ ⎨ ⎧ 1/ b, ((b + c) /2 - ∣ s ∣) / (b c), 0, ∣ s ∣ \leq (b - c) /2, (b - c) /2 < ∣ s ∣ \leq (b + c) /2, ∣ s ∣ > (b + c) /2.

因此 $w$ 为偶函数，且随 $∣ s ∣$ 不增。又

∣ Q_{t} ∣ = \int_{t - a /2}^{t + a /2} w (s) d s .

此式关于 $t$ 偶对称；对 $t \geq 0$ ，其导数为 $w (t + a /2) - w (t - a /2) \leq 0$ ，因为 $∣ t + a /2∣ \geq ∣ t - a /2∣$ 。所以同一方向的任何平移截面面积都不超过中央截面。

记 $p = b / a, q = c / a$ ，则由式（1）有

0 < q \leq p \leq 1, p + q > 1.

中央斜带在投影正方形的两个相对顶角各切去一个直角三角形，其直角边长分别为 $(b + c - a) / (2 b)$ 和 $(b + c - a) / (2 c)$ 。故中央截面面积为

S_{0} = 1 + p^{2} + q^{2} (1 - \frac{( p + q - 1 ) ^{2}}{4 pq}) . (2)

这些角部三角形确在正方形边界之内；因为 $a \geq b \geq c$ ，有 $0 < b + c - a \leq c$ ，没有把延长线交点当作截面顶点。

下面证式（2）严格小于 $2$ 。令 $δ = p^{2} + q^{2} - 1$ 。若 $δ \leq 0$ ，根号因子不超过 $2$ ，而括号因子严格小于一，结论成立。若 $δ > 0$ ，则 $0 < δ \leq 1$ 。置

u = 1 - p, v = 1 - q, w = 1 - u - v > 0, r = uv \geq 0.

这里 $pq = w + r$ 、 $δ = w^{2} - 2 r$ ，且 $1 - w - r = u + v - uv \geq 0$ 。于是

(p + q - 1)^{2} - pq δ = w^{2} - (w + r) (w^{2} - 2 r) = w^{2} (1 - w - r) + 2 r (w + r) \geq 0.

因此

S_{0} \leq 2 + δ (1 - \frac{δ}{4}) < 2,

最后的严格不等式由下式及 $0 < δ \leq 1$ 得到：

(2 + δ) (1 - \frac{δ}{4})^{2} = 2 - \frac{δ ^{2} ( 6 - δ )}{16} < 2.

所以所有合法六边形截面的面积都严格小于 $2$ 。

另一方面，在 $[0, 1]^{3}$ 中取平面族

x + y + ε z = 1 + \frac{ε}{2}, 0 < ε \leq 1.

它通过正方体中心，且法向量 $(1, 1, ε)$ 满足严格三角不等式，每次都截出有六个不同顶点的六边形。由式（2），其面积为

S_{ε} = (1 - \frac{ε}{4}) 2 + ε^{2} ⟶ 2 (ε \to 0^{+}) .

每个合法面积都小于该极限，因而总能再找一个合法六边形面积更大。综上，

最大面积不存在；面积的上确界为 2 .

复核

当 $ε = 1$ 时，上述中心截面为正六边形，面积为 $33 /4$ ；它不是全部六边形截面的最大者。当 $ε = 0$ 时，平面变为 $x + y = 1$ ，截面为边长 $2$ 与 $1$ 的矩形，面积正好是 $2$ 。这个端点没有六个不同顶点，不能拿来给原六边形取等。证明严格上界时先覆盖全部位移和法向方向，再给出非退化逼近族，故不是只凭一组趋近例子猜测上确界。

方法总结

截面最值要先确定真实的多边形类型和全参数域。若每个合法截面都严格低于某界，却有同类型的非退化截面趋近该界，应区分上确界与最大值，不能把退化边界当成合法取等。

作答

解析

提示

思路

解答

复核

方法总结