2017 年天津预赛 · 第 15 题

解答

对 $k\ge 2$，令 $u=1/k^2\in (0,1)$，有 $(1+u)(1-u)=1-u^2<1$，故 $1+1/k^2<k^2/[(k-1)(k+1)]$。连乘得原积 $<{\prod }_{k=2}^{n}k/(k-1)\cdot {\prod }_{k=2}^{n}k/(k+1)=2n/(n+1)<2$，即 $\boxed{\prod _{k=2}^n(1+1/k^2)<2}$。