培玉 · 一试
2026 年内蒙古预赛
正弦乘积方程的全部解
F3填空题三角恒等变形
方程
的所有解为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
积化和差后只出现 ，它们都是 的切比雪夫多项式。
思路
所得四次多项式恰好分解成两个二次因子，再分别还原为标准特殊角。
解答
令 。由积化和差公式，原方程等价于
利用
整理并因式分解，得
第一因子给出
即
第二因子给出
即
综上，所有实数解为
复核
因式分解 (1) 与原方程逐步等价，没有平方操作。八个模 的剩余类互不相同； 原乘积在 下保持不变，所以模 表示已穷尽全部实数解。
方法总结
出现 时，积化和差会把角度变成偶数倍，适合令 。再用切比雪夫公式降为代数方程，因式分解后按特殊角恢复全部周期解。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
先把乘积转为cos6x−cos8x并选cos2x为统一变量，再分解四次式，将四个余弦值全部还原为模π角类。
已记下，谢谢！