2014 年山西预赛 · 第 10 题

解答

由初值及递推，$a_n,b_n$ 均为正。设 ${\Delta }_n=a_n^2-2b_n^2$，则

因 ${\Delta }_1=-1$，故 ${\Delta }_n=(-1{)}^n$。因此

令 $r_n=a_n/b_n>0$，有 $r_{n+1}=(r_n+2)/(r_n+1)$，从而

因 $0<(\sqrt{2}-1)/(r_n+1)<1$，且 $r_n\ne \sqrt{2}$，得到