2008 年辽宁预赛 · 第 6 题

解答

正方体没有三个共线的顶点，所以共有 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{2}\right)=28$ 条直线，任选两条共有 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{28}{2}\right)=378$ 种。

固定一条顶点连线，与它不共享顶点的线由其余六个顶点两两确定，共 $15$ 条；共享顶点的线都不异面。给立方体顶点取坐标 $\{0,1{\}}^3$，两线 $UV,ST$ 共面当且仅当

按代表线 $000⟷100$、$000⟷110$、$000⟷111$ 检查其余十五条线，可得

其中棱的三条共面线是其余三条平行棱；面对角线的两条是本面另一条对角线及对面与其平行的对角线；体对角线的三条是其余三条体对角线。坐标行列式同时确认没有遗漏其他共面配对。

于是异面线对数为 $(12\cdot 12+12\cdot 13+4\cdot 12)/2=174$，所求概率为

故选 $\boxed{\mathrm{B}}$。