2021 年北京预赛

思路

海伦恒等式以边长平方x,y,z表示为 $16S^2=2(xy+yz+zx)-x^2-y^2-z^2$；正三角形三个对称方向的点积平方和可在坐标中直接展开。

想法从哪来：三条距离作为新三角形的边，面积公式应优先改成距离平方的对称式；海伦公式的平方展开恰可做到。另一方面，原正三角形的重心是自然原点，三个顶点向量和为零，投影平方和也由对称性只依赖GP而与方向无关。这样三条距离平方的和、离均差平方和都能由a与d写出，代入海伦恒等式后方向信息完全消去。最后从面积平方开根时必须知道括号正负：内部点离重心严格小于外接圆半径，故取正号。若要先确认这三距离确可组成非退化三角形，也可由同一海伦表达式严格为正来核验。

以 $G$ 为原点，把三个顶点向量的对称性与海伦恒等式结合，可消去点 $P$ 的方向，只留下 $GP$。