垫脚石（此题 → 相关题） 2022 年重庆预赛 · P006776
先用球的轴截面将圆锥底面半径与高度联系起来，解决一次最大体积。后题沿用这一层结果后，还要独立处理重铸过程中的体积守恒，将圆柱表面积化成单个正参数的函数。
由一种几何体的内接极值，增加第二种几何体的固定体积极值，两层最优条件应分别核验。
培玉 · 一试
2025 年广西预赛
球内接圆锥的最大体积比
F2填空题立体几何综合
一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
设球半径和圆锥高，通过轴截面中的直角三角形表示底面半径，体积比便成为一个单变量三次函数。
解答
设球半径为 ，内接圆锥的高为 ，其中 ，底面半径为 。 由球心到圆锥底面的距离为 ，有
所以圆锥与球的体积之比为
令 ，则该比值为
由
知， 在 处取得最大值
复核
位于允许区间 内；两端体积比趋于 ，故该驻点给出全局最大值。
方法总结
球内接旋转体问题可在轴截面中用勾股关系消去底面半径，再把高度按球半径归一化， 体积比便与球的尺度无关。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
高h直接给底半径平方h(2R−h)，体积比归一化为t²(2−t)/4后按常规导数求驻点。
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