2026 年广州预赛

解答

(1) 写成 $z=1+iy$，其中 $y\in \mathbb{R}$。则

当 $y=0$ 时取得最大值 $9$；当 $|y|\to \infty$ 时趋近于 $1$ 但不能等于 $1$。故

(2) 对任意 $z=2+iy$，有

所以 $|f(z)|=1$。记

则 $|u|=|v|=|t|=1$。设 $c=\mathrm{Re}t$，题设条件化为

右端非负，所以 $c\ge 0$。两边平方得

即

结合 $c\ge 0$，只能有 $c=1$，于是单位复数 $t=1$，即 $u=v$。

分式线性函数 $f(z)=1-4/z$ 在非零复数上为单射，故 $z_1=z_2$。因此