同一骨架 2018 年辽宁预赛 第 7 题 · P010932
把三角形中的数量积或余切比转成边长平方的组合，可以先消去角变量。先完成合法通分与边长化，再判断目标需要恢复某个角，还是直接读出一个比例。
前题由多个点积的连等关系解出边长平方比，并据最长边定位最大角；后题通分余切和后，目标恰可直接用给定平方边关系求出，无需求三角形各角。
培玉 · 一试
2024 年重庆预赛
F2填空题向量的数量积与几何意义
在 中，已知
则 最大角的正弦值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
把三个点积分别写成三边平方的组合，先求边长平方比，再计算最大角。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
记 ，并令
由题设及余弦定理形式的点积公式，
两两相加可得
故最大边为 ，最大角为 。又
所以
复核
平方边长比 满足三角形条件，且三个点积均为正，所得最大角为锐角，正弦取正值。
方法总结
三角形顶点处的向量点积可直接化成 的线性式，连等关系因而转化为线性方程组。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
把三组数量积直接化为边长平方的线性关系，求比后选择最大边对应角。
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