2017 年湖南预赛 · 第 15 题

解答

（1）不妨设 $b>a>0$，令 $r=b/a>1$。有 $\ln r>2(r-1)/(r+1)$，因为两边之差在一为零、导数为 $(r-1{)}^2/[r(r+1{)}^2]>0$。另有 $\ln r<\sqrt{r}-1/\sqrt{r}$，因为右减左的导数为 $(\sqrt{r}-1{)}^2/(2r^{3/2})>0$，一处亦为零。还原即得 $\boxed{\sqrt{ab}<(a-b)/(\ln a-\ln b)<(a+b)/2}$。（2）令 $A=\ln a=a/2017>0,B=\ln b=b/2017>0$。原根不同，所以 $A\ne B$，且 $\ln A-\ln B=\ln a-\ln b=A-B$。于是第一问用于 $A,B$ 给 $1<(A+B)/2$，即 $\ln (ab)>2$，所以 $\boxed{ab>e^2}$。