2019 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 6 题

解答

若 $0<a\le \frac{\pi }{2}$，则 $M_{[0,a]}=\sin a>0$，而 $[a,2a]\ni a$，故 $M_{[a,2a]}\ge \sin a$，于是 $M_{[0,a]}=2M_{[a,2a]}$ 不可能。所以 $a>\frac{\pi }{2}$，此时 $M_{[0,a]}=1$，条件化为 $M_{[a,2a]}=\frac{1}{2}$。$\sin x\le \frac{1}{2}$ 的全部解集是 ${\bigcup }_k\left[2k\pi +\frac{5\pi }{6},2k\pi +\frac{13\pi }{6}\right]$，区间 $[a,2a]$ 连通，须整体落在其中某一段内；又该段内 $\sin x=\frac{1}{2}$ 只在两端取到，所以 $a=2k\pi +\frac{5\pi }{6}$ 或 $2a=2k\pi +\frac{13\pi }{6}$。$k<0$ 时该段在 $\frac{\pi }{6}$ 以内，容不下 $a>\frac{\pi }{2}$。$k\ge 1$ 时 $2a\ge 2\left(2k\pi +\frac{5\pi }{6}\right)>2k\pi +\frac{13\pi }{6}$，超出该段。故 $k=0$：$a=\frac{5\pi }{6}$（此时 $2a=\frac{5\pi }{3}\le \frac{13\pi }{6}$）或 $a=\frac{13\pi }{12}$（此时 $a\ge \frac{5\pi }{6}$），两者都满足。所以 $\boxed{a=\frac{5\pi }{6}\text{或}\frac{13\pi }{12}}$。