2022 年四川预赛

思路

对正数x，$\frac{d}{dt}{x}^t=x^t\ln x$。无序变量对配对将双重求和的i,j与j,i合并，适合控制总导数而非逐项大小。

想法从哪来：比较一次幂和高次幂的同型分式，直接对每一项比较行不通，因为小变量项可能反而变小。把指数暂时看成连续正参数，尝试证明整个和随指数不减，便能允许各项相互补偿。求导后每一项会分成两项，单独看符号仍混乱；将变量对i、j互换所得两项配成一组，出现对数比乘以两个分母倒平方之差。较大变量对应更小的“其余变量之和”，因此两个差的符号始终一致，各组都非负。这个配对才是单调性的来源，最后由指数从一走到r得到目标，并检查全等时取等。

右端是把 $a,b,c$ 同时取 $r$ 次幂后的 Nesbitt 型和。把指数暂记为连续变量 $t$，证明该和随 $t$ 单调不减；求导后按无序变量对配对，每一对的符号一致。