2013 年安徽预赛 · 第 8 题

解答

把顶点沿圆周依次编号。任取三个顶点 $A,B,C$，按逆时针顺序将三个相邻圆弧所跨的边数记为 $p,q,r$，则它们都是正整数，且 $p+q+r=11$。 圆周角定理说明三角形的三个角分别为 $\pi p/11,\pi q/11,\pi r/11$ 的某个排列。 因此三角形为锐角三角形，当且仅当 $p,q,r\le 5$；由于 $11$ 为奇数，没有直角情形。

正整数有序三元组 $p+q+r=11$ 共 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{2}\right)=45$ 个。 若 $p\ge 6$，令 $p^{\prime }=p-5\ge 1$，则 $p^{\prime }+q+r=6$，共有 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=10$ 个。 三个变量中不可能同时有两个不小于 $6$，故满足三者不超过 $5$ 的三元组有 $45-3\cdot 10=15$ 个。 选择起点有 $11$ 种，而每个无序三顶点集合恰被其三个起点各计一次，故锐角三角形共 $11\cdot 15/3=55$ 个。 总三角形有 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{3}\right)=165$ 个，故所求概率为 $\boxed{55/165=1/3}$。