培玉 · 一试
一试训练题
F2填空题不等式的证明
已知实数 满足 ，则 的最大值为 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
把目标的一次组合整体设为新变量，再用另一个变量补足自由度。
思路
将约束二次式对这个剩余变量配方，能直接给目标的界；随后必须把平方项消为零并检查原约束。
解答
设 ，则 ，有
所以 ，即 。取 时平方项为零且约束取等，故 。
复核
在取等点 ，原二次式为 ，目标为2。交换正负得到另一端的可行点，说明平方约束先给出的是双侧界；最大值所用的正端确可取，而不是只得到绝对值估计。
方法总结
正定二次约束下的线性目标，可围绕目标本身换元并对另一方向配方。自由变量的最佳选择由平方项为零决定；在未证明取等点合法前，目标上界仍不等于最大值。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
目标x加y直接提示整体设元，对剩余变量配方即给目标界并可读出取等点。
已记下，谢谢！