2021 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 10 题

思路

韦达定理给二次方程两根的和与积；判别式严格为正才有两个不同实根。实根和为负、积为正才保证两根都负，不能仅凭判别式判断交点位于哪段；左支交点数至多二也可直接由二次方程看出。

想法从哪来：绝对值先要求分段看图像。非负横坐标处是一条水平射线，负半轴上是一个分式分支；因此一条非水平直线若有三个不同交点，分布只能是左边两个、右边一个。水平线须先排除：它即使有许多交点，也无法让三个不同的非负横坐标和为零。 已知的是横坐标的和，所以不必解出交点根式。把左支交点方程写成二次式，用韦达定理给根和，再把右支交点代入，便能先消去斜率与截距中的一个。接下来分别检验“两负根”和“两个不同根”：根和、根积与判别式承担不同任务。最后反向确认每个保留的参数都给两个严格负根和一个正根；端点可能造成重根或落到分段边界，不能只取极限补入。

$x\ge 0$ 时 $y=1$，$x<0$ 时 $y=-1+\frac{2}{1-x}$ 严格递增且凸、值小于 $1$；据此确定三个交点的分布。