2024 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 7 题

解答

取坐标使椭圆方程为 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$，焦点为 $F_1=(-c,0),F_2=(c,0)$，其中 $c^2=a^2-b^2>0$。 设 $P=(x,y)$。由于 $P$ 异于长轴端点，$y\ne 0$，三角形及其外心均存在。 外心 $O$ 到两焦点等距，故可写为 $(0,v)$。于是原数量积关系给出

即 $x^2+y^2+cx-c^2=0$。 利用椭圆方程 $y^2=b^2(1-x^2/a^2)$，整理并配方得

故 $c^2/a^2\ge 3/8$，离心率 $e\ge \sqrt{6}/4$。

取 $a=1,c=\sqrt{3/8},b=\sqrt{5/8}$，再取

此点在椭圆上且纵坐标非零，并使上式平方项为零。 沿此前等价变形回代即可满足原数量积关系，因此最小值为 $\boxed{\sqrt{6}/4}$。