垫脚石（相关题 → 此题） 2026 年贵州预赛 · P006010
先用函数值与导数值确定重复一次因子下的余式，再练习多点高重根如何填满导函数的次数。共同关键是把重数翻译为若干阶导数同时为零，而不是只使用根处函数值。
前题求低次余式；后题先确定导函数形状，再用两端函数值确定比例常数。
培玉 · 一试
2022 年浙江预赛
F3填空题多项式
已知 为 次多项式。若 为 的三重根， 为 的三重根，则 的表达式为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
两个三重根使导函数分别含两个二重因子，而导函数恰为四次，从而只差一个常数倍。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
由题设， 在 处都有二重零点，故
又 ，积分得
代入 ，因括号内为 ，得 。所以
复核
该多项式在 处值为 、在 处值为 ，且导数为 ，二阶导数在两点也为零，三重根条件全部满足。
方法总结
高重根插值题常先转到导函数；若重数之和恰好填满导函数次数，导函数形状会被完全确定。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
需转看导函数这一四次多项式在0和1各有二重根，从而只剩一个比例系数，再利用两函数值还原。
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易混 2026 年内蒙古预赛 · P006087
两题都涉及根处的导数，但根的重数要求相反。求切线斜率倒数时必须为单根，才能以根差乘积作分母；高重根条件则刻意要求低阶导数为零，用它们来确定导函数。
单根导数非零与重根导数为零不能互套，先核表达式是否有定义，再选导数工具。
已记下，谢谢！