2025 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 11 题

解答

任取两条不同的棱，共有 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3n}{2}\right)$ 个等可能的无序棱对。$n$ 条侧棱两两平行，与底面棱的方向均不平行，提供 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)$ 个有利棱对。

正 $n$ 边形相邻边方向依次转过 $2\pi /n$；若两条不同的边平行，其方向差须为 $\pi$，因而只有 $n$ 为偶数时才有对边平行。 当 $n$ 为奇数时，上下底面的对应棱提供 $n$ 个有利棱对，故

当 $n$ 为偶数时，底面有 $n/2$ 组平行对边，两个底面合起来共有 $n/2$ 个方向组，每组含 $4$ 条棱。因此

若 $k,l$ 同为奇数，$P_k=P_l$ 等价于

整理得 $4(l-k)=0$，即 $k=l$。若两数同为偶数，相同计算给出 $16(l-k)=0$，也只有 $k=l$。

若两数一奇一偶，不妨设 $k$ 为奇数，$l$ 为偶数。由 $P_k=P_l$，

整理得 $l=4k-1$。右端为奇数，与 $l$ 为偶数矛盾。 因此不存在两个不同的正整数 $k,l\ge 3$ 使 $P_k=P_l$。