2021 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 4 题

解答

$f(a)=f(2a)$ 即 $\cos a+{\log }_{2}a=\cos 2a+{\log }_{2}a+1$，故 $\cos a=\cos 2a+1=2{\cos }^{2}a$，所以 $\cos a=0$ 或 $\cos a=\frac{1}{2}$。又 $f(2a)-f(4a)=\cos 2a-\cos 4a+{\log }_2(2a)-{\log }_2(4a)=\cos 2a-\cos 4a-1=\cos 2a-2{\cos }^{2}2a$。若 $\cos a=0$，则 $\cos 2a=-1$，值为 $-1-2=-3$；若 $\cos a=\frac{1}{2}$，则 $\cos 2a=-\frac{1}{2}$，值为 $-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=-1$。两种取值都能实现（如 $a=\frac{\pi }{2}$、$a=\frac{\pi }{3}$，均为正数）。所以全部可能值为 $\boxed{-3\text{或}-1}$。