易混 2022 年甘肃预赛 · P006813
两题都可在代换后使用均值不等式，但受控量与目标方向相反：一题把正表达式拆成乘积固定的三项，得到可达下界；另一题把约束转成新变量的和固定，再控制两两几何平均的和，得到可达上界。先辨认固定的是和还是积，再选择比较方向。
函数方程消元后的各正项并非自由独立变量；另一题的本原变量可由新变量恢复。两题都须把各项相等的要求代回原约束，而不能因为都用均值不等式就共用等号条件。
培玉 · 一试
2026 年福建预赛
F3填空题不等式的证明
若正实数 满足
则 的最大值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
除以 后，把三个正项分别记作新变量；原变量恰可表示为新变量两两乘积的平方根， 目标式于是化为标准的 型不等式。
解答
令
由 及题设等式， 且
又有
所以
其中使用了 。
当 时取等号；对应
确为正数并满足原等式。因此最大值为
复核
等号组代入原式，两边均为 ，目标值为 。 不等式来自 的三次循环相加，等号条件确为 。
方法总结
齐次乘积约束可先除去公共正因子，再把各项视为新变量。若原变量能由新变量的 两两几何平均恢复，目标最值就可由均值不等式统一处理，并能直接读出等号条件。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
核心是除以xyz后选取xy/z、16yz/x、4zx/y，使约束成为定和且目标成为两两根式积之和，再核验换元可逆与等号。
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