2016 年陕西预赛 · 第 6 题

解答

底面外接圆半径平方为 $1/3$。原正四面体高为 $\sqrt{2/3}$，所以 $M$ 到底面高 $h=1/\sqrt{6}$。设球心的有向高度为 $t$，等距条件为 $1/3+t^2=(h-t{)}^2$，得 $t=-\sqrt{6}/12$。因此球半径为 $R=h-t=\sqrt{6}/4$，面积为 $\boxed{4\pi R^2=3\pi /2}$，选 B。