易混 2024 年全国高中数学联赛一试（A 卷） 第 2 题 · P007182
两个无穷和约束看似都能消去首项，但平方数列的公比是原公比的平方，绝对值数列的公比则是其绝对值。负公比分支在两种问题中承担不同作用，不能混用分母或先验符号。
一题比较原和与平方和，另一题比较原和与绝对值和；先确认收敛、首项能否约去以及原题对零公比的限制，再判断全部可行取值。
培玉 · 一试
2022 年全国高中数学联赛一试（A2 卷） · 第 3 题
F2填空题数列的和
若无穷等比数列 的各项和为 ，各项的绝对值之和为 ，则首项 的值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
绝对值和大于原和，说明数列不能各项同号。
思路
结合等比级数收敛条件，公比应为负；两种级数和给出两个方程。
解答
设公比为 。因各项和非零且绝对值级数收敛，有 、。由
知 。若 ，各项非负，则绝对值和也为 ，矛盾。故 ，从而
解得 ，故 。
复核
代入所得首项与公比，原级数和为 ，绝对值和为 ，两级数均收敛。
方法总结
同时给出级数和与绝对值和时，先检查符号和收敛；对等比数列，绝对值级数的公比是 。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
先由绝对值和不同判断公比为负，再用两条标准求和公式计算并验证收敛。
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