2021 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 4 题

解答

设 $f(1)=u,f(2)=v$。$x=1$ 时 $u=u+v-1$，得 $v=1$；$x=2$ 时 $v=\frac{4u+2v-1}{2}$，即 $1=2u+\frac{1}{2}$，$u=\frac{1}{4}$。所以 $f(x)=\frac{x^2/4+x-1}{x}$，$x\ne 0$。$f(x)=0$ 即 $x^2+4x-4=0$，判别式 $32>0$，两根 $-2\pm 2\sqrt{2}$ 均不为 $0$，都在定义域内，和为 $\boxed{-4}$。