2013 年黑龙江预赛 · 第 21 题

解答

设动圆圆心 $(x,y)$、半径 $r=x>0$。外切条件为 $\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}=x+1$，所以 $\boxed{C:y^2=4x,x>0}$。第一象限交点满足 $(x+1{)}^2+4x=49/9$，正根为 $x=2/3$，从而 $y=2\sqrt{6}/3$，且 $P{F}_2=x+1=5/3$。椭圆焦半径和为四，因而 $\boxed{E:x^2/4+y^2/3=1}$。设弦中点 $M=(u,v)$，两端方程相减给 $k=-3u/(4v)$。又 $v^2=4u$；中点严格在椭圆内部等价于 $u^2/4+4u/3<1$，即 $0<u<2/3$。因此 $k=\mp 3\sqrt{u}/8$，得到 $\boxed{k\in (-\sqrt{6}/8,0)\cup (0,\sqrt{6}/8)}$。