2017 年河南预赛 · 第 5 题

解答

令一条射线方向角为 $\theta$，记 $u={\sin }^2\theta \in [0,1]$。椭圆上的点沿该方向到原点距离平方为 $r^2=1/(1+2u)$，垂直方向对应 $s^2=1/(3-2u)$。因 $OA\perp OB$，有 $A{B}^2=r^2+s^2=4/(3+4u(1-u))$。所以 $AB$ 的最小值为一，最大值为 $2/\sqrt{3}$，两者乘积为 $\boxed{2\sqrt{3}/3}$。