培玉 · 一试
2025 年广西预赛
外心向量关系确定内角余弦
F2填空题向量的数量积与几何意义
已知 的外心为 ，且
则 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
以外心为原点后，三个顶点向量等模。
思路
把给定向量等式分别与三个单位化向量作数量积， 即可求出三组夹角余弦，再计算顶点 处两边向量的夹角。
解答
设外接圆半径为 ，并令
则三向量均为单位向量，且 。 记
把向量等式依次与 作数量积，得
解得
于是
故
复核
所得三个数量积均在 内，并满足原线性关系；最终余弦为正且小于 。
方法总结
外心向量题的关键是所有顶点位置向量等模。单位化后，线性向量关系与各向量作数量积， 可把几何角度问题化成线性方程组。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
三外心向量等模，分别点乘可直接解三组夹角内积，再用BA、BC的差向量算指定顶点角。
已记下，谢谢！