2014 年湖南预赛 · 第 8 题

解答

由 $(\sin x-\cos x{)}^2={\pi }^2/16$，得 $1-2\sin x\cos x={\pi }^2/16$，所以 $\sin x\cos x=(16-{\pi }^2)/32$。因 $0<x<\pi /2$，两者均正，商式有定义。于是 $\tan x+1/\tan x=1/(\sin x\cos x)=32/(16-{\pi }^2)$。按所指定形式取 $a=32,b=16,c=2$，得到 $\boxed{a+b+c=50}$。