2013 年河北预赛 · 第 13 题

解答

（1）$f^{\prime }(x)=1+(2a-1)e^{2x}$，在 $x<0$ 时 $e^{2x}\in (0,1)$。全域递增恰当 $\boxed{a\ge 0}$，临界参数零时导数仍严格正。（2）记 $D_a(x)=f(x)-2a{e}^x$。在零的右极限为 $-a-1/2$，必要 $a\ge -1/2$；在正无穷端若 $a>1/2$，主导指数项为正，必要 $a\le 1/2$。当 $a=1/2$，$D=x-e^x<0$；当 $a=-1/2$，$D=x+e^x-e^{2x}<0$，因令 $t=e^x>1$ 后，$t^2-t-\ln t$ 从零严格增加，其导数为 $(2t+1)(t-1)/t$。每个固定正输入的 $D_a$ 关于参数为仿射式，两端都负，故全部中间参数充分。答案为 $\boxed{a\in [-1/2,1/2]}$。