易混 2023 年甘肃预赛 · P006668
使用导数或极值点讨论根时，必须先分清题目数的是不同交点，还是允许重数的实一次因子。切触会合并不同交点，而代数分解中的重根仍按重数保留，不能由少数驻点草率排除。
前题按水平线位置计不同交点，极值水平和无穷远极限都影响开闭端点；后题一问全域严格正，另一问允许重复实根，常数项为零须独立讨论。
培玉 · 一试
2022 年中科大少年班复试 · 第 3 题
F3解答题多项式
已知。
(1) 求满足什么条件时对一切实数恒成立；
(2) 若存在，使得
求满足什么条件。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
第一问用导数找全局最小值，并保留严格正性。
思路
第二问允许重根；非零常数项时可转成倒数根的平方和，迫使矛盾，零常数项则另行检查。
解答
(1) 有 。导数在 左侧非正、右侧非负，除孤立点外符号严格，故全局最小值在 ，其值为
这在 时也适用。因此全实轴严格正当且仅当 。 (2) 若四根均为实数而 ，则所有根 非零。由韦达，四根的二阶、三阶基本对称式均为0。令 ，便有
从而 。各 为实数，所以全部为0，与 非零且有限矛盾。故必须 。反过来， 时 ，四根按重数为0、0、0、，全部为实数。因此条件为 。
复核
第一问临界等号使最小值为0，应排除。第二问没有要求四根互异，三重零根是合法分解；不能因导数只有少数不同零点就直接排除重根情形。 时四重零根也包含在结果中。
方法总结
缺少中间系数的实根问题可利用倒数根的对称式；转倒数前必须分出常数项为零的支。全域严格正与能分成实一次因子是两类不同条件。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
先由导数确定四次式的全局最小值与严格正条件；全实根问题再分常数项零支，以倒数根的对称式转平方和排除非零支，并验证重根分解。
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易混 2023 年吉林预赛 · P006711
把组合或根的条件写成点积与平方式后，还要确认运算发生在哪个数域。实数平方和为零能迫使每项为零；模二运算没有同样的非负性，应利用已知的自点积与交叉点积逐项提取系数。
前题在模二下以正交条件证明不同子集的向量和互异，再用总状态数作上界；后题在非零常数项分支转倒数根，用实平方和排矛盾，零常数项与重根必须单独保留。
已记下，谢谢！