2013 年河南预赛 · 第 7 题

解答

底面面积为 $AC\cdot BD/2=\sqrt{2}$。在底面取仿射坐标 $A=(0,0),B=(1,0),D=(0,1),C=(1,1)$；它只用来表示面内比例，面积倍率为 $\sqrt{2}$，竖直高度仍取实际长度。按题图 $E$ 在 $A$ 上方高一，$F$ 在 $C$ 上方高二。在实际高度 $z$，两锥的截面分别是 $[0,1-z{]}^2$ 与 $[z/2,1{]}^2$，其交为 $[z/2,1-z{]}^2$，当且仅当 $0\le z\le 2/3$ 非空。公共截面面积为 $\sqrt{2}(1-3z/2{)}^2$，所以公共体是一座底面积 $\sqrt{2}$、高 $2/3$ 的棱锥，顶点为 $EC$ 与 $FA$ 的交点。故 $\boxed{V=2\sqrt{2}/9}$。