2008 年河南预赛 · 第 11 题

解答

设 $p=xy\in (0,1)$，$s=x+y$。原等式化为

又因 $x,y>0$，有 $s\ge 2\sqrt{p}$，所以 $1+4p-p^2\ge 4\sqrt{p}$。令 $r=\sqrt{p}\in (0,1)$，则

由于 $(1-r{)}^2>0$，故 $1-2r-r^2\ge 0$，即 $0<r\le \sqrt{2}-1$，从而

函数 $p(1-p)/2$ 在此区间严格递增，因而

取 $x=y=\sqrt{2}-1$，既满足 $0<x,y<1$，也满足原等式，并有 $p=3-2\sqrt{2}$。故最大值为 $\boxed{5\sqrt{2}-7}$。